Winkelfunktionen


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Hallo, ich lerne gerade für eine Zwischenklausur über Integral und Differentialrechnung und bin dabei auf dieses Beispiel gestolpert, die Multiple Choice Antworten sollen auf ihre Richtigkeit überprüft werden aber ich weiß nicht recht wie ich das ohne Taschenrechner und Co angehen könnte...? Gegeben sei die Funktion w(x)= 2sin(x)cos(x) mit dem Definitionbereich D_w=[0,2π]. Wählen Sie eine oder mehrere Antworten: a. Aus w(3π/4)=-1 folgt w(x)<0 in (π/2,π) b. Aus 1/w(π/4)=+1 folgt 1/w(x)>0 in (0,π) c. Aus w(5π/4)=+1 folgt w(x)>0 in (π,3π/2). d. Alle Nullstellen von w(x) sind in der Menge{0,π,2π}. e. Aus 1/w(7π/4)=-1 folgt 1/w(x)<0 in (π,2π) f. Es gilt w(x)=sin(2x).  

 

gefragt vor 10 Monate, 1 Woche
a
anika313,
Student, Punkte: 24
 
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2 Antworten
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Hallo,
Zum besseren Verständnis solltest du zuerst f) lesen.

a) wahr. Ließe sich mit der 1. und 2. Ableitung zeigen: \(\left [ (sin(2x)\right ]'=2\cos(2x)=0 \Rightarrow x=\frac{3\pi}{4}\) Die 2. Ableitung ergibt \(4>0 \Rightarrow\) Minimum. Und da die nächste Nullstelle (siehe d) erst bei pi kommt, ist es negativ.

b) falsch. w(x) ist im Intervall ]0.5pi,pi[ negativ (siehe a).

c) wahr. Hat eine Nullstelle in pi und die "nächste" in 3pi/2. Frage: Entweder alles in diesem Intervall negativ oder positiv? -> \(\left [ sin(\frac{5\pi)}{4}\right ]^{(2)}=-4 \Rightarrow\) Maximum.

d) falsch. \(w(x)=sin(2x) \rightarrow sin(2x)=0\) Wie man sich möglicherweise (grafisch) herleiten kann, geht sin(x) durch den Punkt (0|0) und dann jede weitere um pi verschoben. sin(2x) bewirkt nun eine 2-fache Stauchung der Periode nun gestaucht, wodurch es doppelt so viele NS gibt. Also ergibt sich: \(w(x)=0 \Rightarrow x=\dfrac{\pi n}{2}, n\in \mathbb{Z}\)

e) falsch. pi und 2pi sind NS der Funktion. Somit dort null und die Reziproke nicht definiert.

f) wahr. Lässt sich über die Additionstheoreme zeigen, da gilt: \(sin(x+y) = sin(x) \cdot cos(y) + sin(y) \cdot cos(x) \rightarrow sin(2x) = sin(x+x) = sin(x)\cdot cos(x) + sin(x)\cdot cos(x) = 2sin(x)\cdot cos(x)\)

 

Mir war nicht klar, ob du mit "in (π/2,π)" jeweils zwei Punkte oder ein offenes Intervall meinst, weswegen meine Antworten möglicherweise nicht zutreffen. Wenn du dies erläuterst, kann ich noch mal über meine Antworten drüberschauen.

geantwortet vor 10 Monate, 1 Woche
m
maccheroni_konstante, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 13221
 
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Erstmal danke für die super Antwort, Punkt f) ist gerade eine totale Erleuchtung für mich ;D mein größtes Problem war nämlich dass ich mir nicht vorstellen konnte wie 2sin(x)cos(x) überhaupt aussehen soll, aber mit sin(2x) ergibt das super Sinn Der Prof. hat das so mit den runden Klammern angegeben, deshalb bin ich mir leider selber nicht 100% sicher wie genau er das meint ,aber ich glaube er gibt das als Intervall (0.5pi bis pi) an. Wenn ich mir f(x)=sin(2x) einfach skizziere könnte ich einige der Multiple Choice antworten auch einfach ablesen oder?
geantwortet vor 10 Monate, 1 Woche
a
anika313,
Student, Punkte: 24
 

Ja, könntest du machen, wenn du die Veränderung der Periode berücksichtigst und dir somit sicher bist. Ob das deinem Prof reicht, weiß ich nicht, aber theoretisch ist das möglich.   -   maccheroni_konstante, verified kommentiert vor 10 Monate, 1 Woche
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