Beweis der Differenzierbarkeit einer Funktion


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Hey Leute, iche habe bei folgender Aufgabe etwas Probleme:   Ich bin mir beim Nachweis von Differenzierbarkeit noch sehr unsicher, deshalb hier einfach mal das was ich bis jetzt gemacht habe: Zu a) Für \( x_{0} \neq 0 \)  mit den Ableitungsregeln abgeleitet. \( f'(x) = 2xsin(\frac{1}{x}) - cos (\frac{1}{x}) \) Für \( x_{0} = 0 \) dann mit dem Differentialquotient gelöst und gesehen dass dieser gegen 0 läuft. \( lim_{x \to x_{0}} \frac{x^{2}sin(\frac{1}{x})-0}{x-0}) = lim_{x \to x_{0}} x \cdot sin(\frac{1}{x}) = 0 \) Kann ich das so schreiben? Zu b) Hier hab ich ein Problem damit wie ich Unstetigkeit nachweisen kann. Ich muss dafür ja mit Epsilon-Delta-Kriterium Nachweisen das \( cos(\frac{1}{x}) )\ unstetig ist, aber wie? Zu c) g ist die zweite Ableitung von f oder? Aber f' ist doch in 0 gar nicht differenzierbar. Ich kann also gar nicht die 3. und 4. Ableitung in 0 bilden. Wie soll ich dann ein lokales Minimum in 0 nachweisen? Zu d) und e) ist soweit alles klar.   Vielen Dank im Voraus :)

 

gefragt vor 8 Monate, 1 Woche
u
ultor,
Student, Punkte: 70
 
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3 Antworten
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Hallo,

zu a):

Komposition differenzierbarer Funktionen sind wieder differenzierbar. Es bleibt die Diff. an der Stelle \(x=0\) zu zeigen, was du über die definition ja gemacht hast.

zu b):

\(f'(x)=\begin{cases}
2xsin\left ( \frac{1}{x} \right )-cos\left ( \frac{1}{x} \right ) & \text{ } x\neq 0 \\
0& \text{ } x= 0
\end{cases}\)

Sei nun \(\epsilon=\frac{1}{2}\), \(\delta> 0\). Wähle \(n\in\mathbb{N}\) groß genug, s.d \(x_n=\frac{1}{2n\pi}<\delta\).

So gilt nun \(\left | x_n-0 \right |=x_n<\delta\) \(\wedge \) \(\left | f'(x_n)-f'(0) \right |=\left | f'(x_n) \right |=\left | -1 \right |=1\geq \frac{1}{2}=\epsilon\).

Also ist \(f'\) nicht stetig in \(0\).

zu c):

Ich denke, hier ist eher \(g(x)\) als die Funktion \(f(x)\) quadriert gemeint, und nicht die zweite Ableitung.

Also: \(g(x)=\left ( f(x) \right )^2=f^2(x)\)

 

Gruß,

Gauß

geantwortet vor 8 Monate, 1 Woche
carl-friedrich-gauss,
Lehrer/Professor, Punkte: 1964
 

Hallo,

Danke dir (und auch den anderen 2, das hat super viel geholfen)

Ich hab dazu noch eine Anschlussfrage: Bei der b) arbeitest du ja mit dem Folgenkriterium der Stetigkeit, aber wie kommst du auf die Folge? Und wie muss man generell ansetzen für den Epsilon-Delta-Beweis der Unstetigkeit, einfach anstatt Delta vorzugeben das Epsilon vorgeben?

Viele Grüße,

Ultor
  -   ultor, kommentiert vor 8 Monate, 1 Woche

"Bei der b) arbeitest du ja mit dem Folgenkriterium der Stetigkeit, "- Jein, nicht ganz. Es ist schon noch ein Epsilon-Delta-Beweis.

Für das Folgenkriterium hätte ich eine Folge \(x_n\) mit \(x_n\rightarrow 0\) finden müssen, für die aber \(f(x_n)\nrightarrow f(0)=0\).

Ich habe allerdings mit dem Ansatz begonnen und mir so den \(\epsilon\)-\(\delta\) Beweis gebastelt.

(Da ich dachte, dass du es auf diese Weise machen wolltest.)

 

"wie kommst du auf die Folge?"- Du meinst \(x_n=\frac{1}{2n\pi}\)?  Wenn du über das Folgenkriterium argumentieren willst, hättest du jede beliebige \(0\)-Folge nehmen können, da \(cos(\frac{1}{x})\) dann ja oszilliert (also es gibt keinen Grenzwert). Ich habe diese spezielle Folge gewählt, da dann \(\forall n\in\mathbb{N}: sin\left ( \frac{1}{x_n} \right )=0\ \wedge cos\left ( \frac{1}{x_n} \right )=-1\) ist und ich somit ganz leicht mein passendes \(\epsilon\) finden konnte.

 

"Und wie muss man generell ansetzen für den Epsilon-Delta-Beweis der Unstetigkeit"- Du negierst einfach die Definition der Stetigkeit. D.h. du musst zeigen, dass \(\exists \epsilon >0\ \forall \delta >0\ \exists x\in D: \left | x-x_0 \right |<\delta \ \wedge \left | f(x)-f(x_0) \right |\geq \epsilon\).
  -   carl-friedrich-gauss, kommentiert vor 8 Monate, 1 Woche
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Also wir haben das mit der Stetigkeit/Differnezierbarkeit immer so gemacht: zuerst den rechts-und linksseiten Grenzwert x-> x0 gefunden. Dann f(x0) gefunden.
  1. Wenn Lim(x-> +x0) = Lim(x-> -x0) dann existiert auch allgemein Lim(x->x0)
  2. Stetig ist die Funktion wenn Lim(x-> +x0) = Lim(x-> -x0) = f(x0)
Bei x^(2)sin(1/x) ist es so dass der rechts/und Linksseitige Grenzwert (x-> +/- 0) gleich sind (annähernd 0) und so der Lim(x->x0) auch existiert (wie du bei a. eh gemacht hast) , bei f(0) existiert die funktion aber nicht (wenn du 0 einsetzt müsstest du durch Null dividieren, was nicht geht), aber da die Grenzwerte gleich sind darfst du sie ergänzen für x=0 (was ja eh in der Angabe gemacht wurde) sodass sozusagen die Lücke in der Funktion geschlossen wird. b Das unstetigkeit nachweisen hat mein Prof uns so erklärt dass du einfach von 2sin((1)/(x))-cos((1)/(x)) den links und rechtsseitigen Grenzwert findest , das sind dann nämlich zwei verschiedene Werte, das heißt  Lim(x-> +x0) ist nicht gleich Lim(x-> -x0) , das heißt sie ist unstetig, du kannst sie bei x0 nicht ergänzen und kein lim(x->x0) bilden, weiß nicht ob das das ist wie du es beweisen wolltest ^^ bei c hast du eine neue Funktion g(x) , die ja f'' ist . Du musst nicht die Ableitung in 0 (  f''(0) ) davon bilden sondern g' (also die dritte Ableitung von f) einfach 0 setzten (g'(x)=0) für das Minimum und  da sollte ein X-Wert (in der Angabe heißt der x0, ich nenn den jetzt mal p) rauskommen. In der Angabe steht "das Minimum ist in  p=0"  also wenn du g'(x)=0 machst sollte 0 (p) rauskommen, wenn du das mit der zweiten Ableitung von g überprüfen willst  dann setzt du in g'' (4. Ableitung v. f) ein : g''(p) also g''(0) , dann bekommst du wieder einen Wert und der sollte dann >0 sein damit es ein Minimum ist. hoffentlich konnte dir das ein bisschen helfen ^^
geantwortet vor 8 Monate, 1 Woche
a
anika313,
Student, Punkte: 24
 
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Hallo, zu a) Habt ihr schon gezeigt oder besprochen, dass die Komposition und das Produkt von differenzierbaren Funktionen wieder differenzierbar ist? Dann würde ich einfach die Differenzierbarkeit der einzelnen 3 Funktionen zeigen. \( x^2 , \sin(x) , \frac 1 x \) zu b) Die Idee von Anika ist hier wesentlich einfacher als das \( \epsilon - \delta \) - Kriterium. Du wirst aber schon bei einem der Grenzwerte gegen 0 sehen das der Grenzwert einfach nicht existiert. Was passiert den mit \(  f'(x) = 2xsin(\frac{1}{x}) – cos (\frac{1}{x}) \) wenn du x gegen 0 laufen lässt? Guck dir am besten jede Funktion einmal einzeln an. Bei der c) muss ich auch nochmal überlegen, denn wie du sagst ist die Funktion dort nicht differenzierbar. Grüße Christian
geantwortet vor 8 Monate, 1 Woche
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 14033
 
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