Ker(f) , Bild(f)


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Hallo , ich habe bei folgender Aufgabe Schwierigkeiten , wäre nett wenn mir jemand paar Ansätze sagen könnte danke Sei K ein Körper, sei V ein endlichdimensionaler K-Vektorraum und sei f : V −→ V eine lineare Abbildung. Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind: (i) V = ker(f)⊕Bild(f), (ii) ker(f) = ker(f^2), (iii) Bild(f)=Bild(f^2). Geben Sie im Fall V = K^2 jeweils ein explizites Beispiel für f an, sodass diese Aussagen alle wahr bzw. alle falsch sind.
gefragt vor 5 Monate
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eyklxb,
Student, 16
 
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1 Antwort
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Hallo, überlege dir am besten einmal was es genau bedeutet, wenn \( V = ker(f) \bigoplus im(f) \) gilt. Wenn i) gilt ist die Implikation nach ii) und iii) eigentlich gar nicht so kompliziert. \( f^2 = f \circ f = f(f(v)) \) Jetzt nimm mal einen Vektor \( w \in ker(f) \) und setze ihn ein. Was kommt heraus? Wenn du einen Vektor \( u=f(v) \in im(f) \) nimmst. Was kommt dann dabei heraus? Grüße Christian
geantwortet vor 5 Monate
christianteam,
Sonstiger Berufsstatus, 11278
 
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