Lim x=>Unendlich?


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Hi,   Ich habe zwar viel zu diesem Thema gefunden, leider wurde genau dieser Aufgabentyp der mich beschäftigt nicht thematisiert.   Die Aufgabe lautet:   Gegeben ist die Funktion f(x)=x^2*e^2-x, Berechnen Sie lim x=>Unendlich f(x).  

 

gefragt vor 10 Monate, 1 Woche
d
derdennis,
Schüler, Punkte: 76
 
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5 Antworten
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Hallo,
ich bin mir nicht sicher, ob du \(f(x)=x^2e^{2-x}\) oder \(f(x)=x^2e^2-x\) meinst, aber tendiere eher zu ersterem.

\(\lim_{x\to \infty}x^2e^{2-x}=0\). Da das Polynom \(e^2x^2\) asymptotisch langsamer wächst, als \(e^x\) ist der Grenzwert null. Es gibt den Satz "eine Exponentialfunktion wächst schneller als jedes Polynom" (ab einem bestimmten x), weswegen \(e^{2-x}\), je größer das x wird, das andere Polynom "überholt". Du kannst z.B. große X-Werte einsetzen und sehen, dass das Ergebnis gegen 0 läuft.

geantwortet vor 10 Monate, 1 Woche
m
maccheroni_konstante, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 13156
 

Da war wohl einer schneller :)   -   1+2=3, verified kommentiert vor 10 Monate, 1 Woche
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Hallo Dennis, schauen wir uns erstmal die Grenzwertbetrachtung für lim x -> +∞ an. Dazu betrachten wir die einzelnen Faktoren des Produkts: x^2 strebt gegen +∞, da eine sehr große Zahl (unendlich ist an sich ja keine Zahl) beim quadrieren noch viel größer wird. e^2-x wird sehr klein und strebt somit quasi gegen 0.  Das liegt daran, dass wir e^-∞ erhalten, was wiederum 1/(e^∞) entspricht wodurch dieser Faktor quasi 0 wird. ∞*0 entspricht im endeffekt 0, also strebt der f(x)-Wert der Funktion bei lim x -> +∞ gegen 0. lim x -> -∞: x^2 wird erneut wieder ganz ganz groß und strebt somit quasi gegen +∞. Das gleiche gilt für e^2-x. Durch das "-" vor dem x, ensteht e^∞ wodurch dieser Faktor auch gegen +∞ strebt. Somit strebt der f(x)-Wert bei lim x -> -∞ gegen +∞. Das ganze kann man sich auch ganz gut in Geogebra veranschaulichen. Ich hoffe ich konnte dir ein wenig weiterhelfen. Liebe Grüße
geantwortet vor 10 Monate, 1 Woche
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1+2=3, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 841
 

Hi , tut mir wirklich leid wenn ich ein wenig hohl bin^^ aber meinst du du könntest mir einen letzten gefallen tun? weißt du ich habe diese Gabe wenn ich eine Musterlösung sehe dann fällt es mir unheimlich einfach mir den Rest herzuleiten, und es ist leider so ich leider an einer chronischen Krankheit und kann von daher manchmal so sehr ich es auch will den Unterricht nicht wahr nehmen. Dadurch kommen halt die wichtigsten Aspekte und Lösungswege überhaupt nicht an, auf Fragen in der Kursgruppe reagiert einfach überhaupt niemand aber meine Bitte an dich wäre jetzt, kannst du mir sagen:

 

1.  Wir sind einen anderen Lösungsweg gegangen, darf der Lehrer mir deinen Lösungsweg als falsch werten wenn dieser aber auch richtig ist ?

2. Könntest du mir bitte nur einmal die Aufgabe nach deinem Lösungsweg vorrechnen? ich weiß es ist etwas viel verlangt aber du bist meine letzte Hoffnung die Aufgabe bis zur Klausur am Montag zu verstehen.

 

Es tut mir leid das du dich jetzt hier erstmal durch diesen kleinen Roman kämpfen musstest und falls es klappt wäre ich dir überaus dankbar!!!

 

 

Mfg .

 

Dennis
  -   derdennis, kommentiert vor 10 Monate, 1 Woche

1. Kommt darauf an, viele Wege führen nach Rom, aber wenn der Leher bzw. die Aufgabenstellung lautet: Löse mit Verfahren XX, dann bist du natürlich eingeschränkt. Ich kenne das aber aus schulischem Umfeld eig. nicht, dass nur "die" eine Lösung akzeptiert wird.

2. Zuerst kannst du den Term umschreiben, sodass die e-Funktion als Bruch im Nenner steht: \(\lim\limits_{x\to \infty}x^2e^{-x+2}=\lim\limits_{x\to \infty} \dfrac{x^2}{e^{x-2}}\) Jetzt haben wir einen Bruch der Form \(\dfrac{\infty}{\infty}\), den wir mit der l'Hospitalschen Regel lösen können, indem wir die Ableitung der einzelnen Terme bilden: \(\lim\limits_{x\to \infty} \dfrac{\left [ x^2 \right ]'}{\left [ e^{x-2}\right ]'}=\lim\limits_{x\to \infty}2xe^{-x+2}\) Den Konstanten Faktor können wir nun vorziehen:  \(2 \lim\limits_{x\to \infty}xe^{-x+2}=2\lim\limits_{x\to \infty}\dfrac{x}{e^{x-2}}\). Jetzt das gleiche Spiel mit l'Hospital nochmal. Nach ableiten kommt man auf \(2\lim\limits_{x\to \infty}e^{-x+2}\). Jetzt berechnen wir den Grenzwert für den Exponentialwert: \(2\lim\limits_{x\to \infty}e^{-x+2}=2e^{\lim\limits_{x\to \infty}(-x+2)}\) Hierbei können wir sowohl von 2, als auch von -x den GW eigen bestimmen, wobei für 2 gilt, dass er 2 ist (Konstantenregel). Also bleibt noch  \(2e^{2-\lim\limits_{x\to \infty}x}\) wobei gilt: \(\lim\limits_{x\to \infty} x=\infty\). Und da eine Exp. schneller wächst, als eine Potenz, wird der Wert des Nenners größer, als der des Zählers: \(x^2e^{2-x}=\dfrac{x^2}{e^{x-2}}\). Oder man formt gegen Ende um zu \(e^2\cdot 2 \cdot \dfrac{1}{\infty}\) Wobei gilt, dass \(\dfrac{c}{\infty}=0\) ist. Somit ist \(e^2\cdot 2 \cdot 0 = 0\)

  -   maccheroni_konstante, verified kommentiert vor 10 Monate, 1 Woche
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geantwortet vor 10 Monate, 1 Woche
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derdennis,
Schüler, Punkte: 76
 
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Entschuldigung jetzt ist es falsch hochgeladen, aber so in der Art sollen wir das bearbeiten, also die Nr2
geantwortet vor 10 Monate, 1 Woche
d
derdennis,
Schüler, Punkte: 76
 
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bevor es zur Beantwortung kommt, ich habe jetzt den Quozienten gebildet sprich e^2-x ist unten, wird dann weil es ja zum Bruch wird aus dem e^2-x ein e^2+x?   und wenn ich den Bruch ableite, fällt wird dann aus e^2-x ein e^-x?  
geantwortet vor 10 Monate, 1 Woche
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derdennis,
Schüler, Punkte: 76
 

Nein, du drehst alle Vorzeichen um: \(e^{2-x}=e^{-(-2+x)}=\dfrac{1}{e^{-2+x}}\) Ableitung von e-Funktionen: \(\left [ e^{u(x)} \right ]'=e^{u(x)} \cdot u'(x)\) also in unserem Fall \(e^{2-x}\cdot (-1)=-e^{2-x}\)

  -   maccheroni_konstante, verified kommentiert vor 10 Monate, 1 Woche
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