Komplexe Matrix und kommutierende Matrizen


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Hallo, bei dieser Aufgabe bin ich wieder ratlos: Vielen Dank für einen Ratschlag!

 

gefragt vor 10 Monate, 1 Woche
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tisterfrimster,
Student, Punkte: 163
 
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1 Antwort
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Hallo, ich würde einfach mal allgemein die Matrix B berechnen. Also \( B= \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \) dann bestimme \( A \cdot B = B \cdot A \) Daraus erhälst du ein Gleichungssystem. Das führt dich dann direkt zu der Basis von U und daraus kannst du sehen, das es ein Untervektorraum sein muss. Auf diese Weise fasst du U denke ich aber nicht als Kern einer linearen Abbildung auf. Ich weiß nicht wie wichtig das für dich ist es über den Kern zu machen. Ich denke da nochmal drüber nach. Grüße Christian
geantwortet vor 10 Monate, 1 Woche
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 14903
 

Ich soll ja offenbar auch explizit verifizieren, dass es sich um einen Untervektorraum handelt. Wie kann ich beispielsweise argumentieren, dass die Menge nicht leer ist? Und wie kann ich zeigen, dass Addition und Multiplikation der Matrizen wieder in U sind, also ebenfalls mit A kommutieren?

Bezüglich deiner Antwort verstehe ich nicht ganz, wie das allgemeine Berechnen der Matrix B gehen soll. Ich hatte jetzt die obige Matrix B einfach eingesetzt und erhalte ja dann eine Gleichheit der zwei Matrizenprodukte mit den Variablen. Wie komme ich zum LGS und der Basis?

  -   tisterfrimster, kommentiert vor 10 Monate

Ich denke es wird dir klarer wenn wir mal die Matrix B berechnen. Wir haben

\( \begin{pmatrix} i & 1 \\ -2 & -i \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} i & 1 \\ -2 & -i \end{pmatrix} \)

\( \Rightarrow \begin{pmatrix} ai+c & bi+d \\ -2a-ci & -2b-id \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ai-2b & a-ib \\ ci-2d & c-id \end{pmatrix} \)

Nun kannst du die einzelnen Einträge als Gleichungen auffassen, denn es muss ja für alle Einträge gelten

\( (a\cdot b)_{ij} = (b \cdot a)_{ij} \)

Du bekommst dann Lösungen für dein a,b,c und d. Von der Idee also nichts anderes als bei Vektoren.

Dadurch das du Lösungen findest, hast du schon gezeigt, das U nicht leer sein kann. Nun kannst du aber auch 2 Lösungen miteinander addieren und du bekommst wieder eine Matrix die mit A kommutiert. Du kannst auch eine skalare Multiplikation ausführen und erhältst trotzdem wieder eine Lösung.

Das alles sieht man sofort wenn du wie bei Vektoren deine Lösungsmatrix in eine Linearkombination aufspaltest. Dadurch hast du dann auch sofort deine Basis.

Grüße Christian

  -   christian strack, verified kommentiert vor 10 Monate

Auf die Gleichung komme ich auch. Wenn ich also die Gleichungen ausrechne, komme ich auf

a = 2bi + d

b = -c/2

c = -2b

d = a + ci.

Ist das richtig?

Dann ist U also schon einmal nicht leer. Was genau addiere ich miteinander, wenn ich zwei Lösungen addieren möchte?

Leider weiß ich nicht, wie ich hier an eine Lösungsmatrix gelange - oder ist das das, was wir oben berechnet haben?
  -   tisterfrimster, kommentiert vor 10 Monate

Du kannst die erste und vierte Gleichung noch mit einander verknüpfen. Du erhälst dann nochmal die Gleichung c+2b=0
Diese Gleichung hast du dann 3x, also kannst du zwei Unbekannte frei wählen.

Ich habe mich jetzt einfach mal für b und d entschieden. Dann ergibt sich

a= 2ib + d
b=b
c= -2b
d=d

Das ganze kannst du dann in die Matrix B einsetzen.

\( \begin{pmatrix} 2ib+d & b \\ -2b & d \end{pmatrix} \)

Das ganze können wir noch als Linearkombination schreiben

\(b \begin{pmatrix} 2i & 1 \\ -2 & 0 \end{pmatrix} + d \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \)

Diese beiden Matrizen erzeugen nun deinen UVR U.

Wir haben wieder 2x2 Matrizen und b und d dürfen aus \( \mathbb{C} \) sein. Also

\( U \subset Mat_2(\mathbb{C}) \)

Jetzt sieht man außerdem auch schon besser, dass U nicht leer ist. Nun kannst du die anderen Axiome nachweisen.

  -   christian strack, verified kommentiert vor 10 Monate
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