Matrizen mit Blöcken


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Hallo, wie gehe ich diese Aufgabe an? Vielen Dank!

 

gefragt vor 10 Monate, 1 Woche
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tisterfrimster,
Student, Punkte: 163
 
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1 Antwort
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Hallo, denk mal drüber nach, das der Rang des Bildes einer Matrix gleich den linear unabhängigen Spalten einer Matrix ist. Auf welche Basiselemente \( y_1, \ldots , y_r \) bildet die Einheitsmatrix ab? Wofür könnten die Nullmatrizen stehen? Grüße Christian  
geantwortet vor 10 Monate, 1 Woche
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 14933
 

Diese Aufgabe verstehe ich immer noch nicht ganz. Der Professor hat uns folgenden Ablauf geraten: Basiswahl in Ker(f), Basisergänzung in V, liefert Basis in Im(f), Basisergänzung in W.

Darunter kann ich mir leider überhaupt nichts vorstellen (ich weiß schon, was Kern, Bild, Basisergänzung, etc. ist, nur eben nicht, wie ich hier konkret vorgehen muss) und wäre dankbar, wenn mir das entschlüsselt werden könnte. Vielen Dank!
  -   tisterfrimster, kommentiert vor 10 Monate, 1 Woche

Dann basteln wir uns doch mal so eine Basis.

Wir nehmen eine Basis von Ker(f). Damit haben wir genau die Vektoren aus V, die auf den Nullvektor abbilden. Jeder weitere Vektor aus v bildet auf einen Vektor in W ab, der nicht der Nullvektor ist.
Wie bereits erwähnt, ist der Rang einer Matrix die Dimension von Im(f).
Diese zusätzlichen Vektoren bilden einen UVR mit der selben Dimension wie Im(f).

Also haben wir eine Basis V, in der wir r-Elemente haben die ins Bild abbilden und n-r, die auf den Nullvektor abbilden.

Jetzt gucken wir uns Im(f) an. Wir erhalten die Basis von Im(f) indem wir die Basis des UVR von oben nehmen und durch die Funktion jagen. Dann haben wir die Basis \( y_1 , \ldots , y_r \). Nun können wir diese Basis durch ergänzen von m-r Elementen zu einer Basis von W ergänzen.

Ist dir überall klar warum wir das so machen können?

Nun musst du dir überlegen, was hat das mit deiner Matrix zu tun?
  -   christian strack, verified kommentiert vor 10 Monate, 1 Woche

Mir ist das klar!

Nun fehlt mir nur noch der Schritt, wie ich das in Zusammenhang mit der Matrix bringen kann. Wir hatten so eine schöne Skizze in der Vorlesung, dass rechts die n-r Spalten und unten die m-r Zeilen sind (also hat der Block unten rechts (n-r)*(m-r) Einträge).

Aber warum das so ist, verstehe ich leider noch nicht ganz.

  -   tisterfrimster, kommentiert vor 10 Monate, 1 Woche

Der Grund steckt schon in der Konstruktion der Basen.

Für eine beliebige lineare Abbildung haben wir die beiden Basen konstruiert. Nehmen wir aber eine bestimmte Abbildung, so haben wir ja einen eindeutigen Kern, bzw ein eindeutiges Bild.

Jetzt überlege dir erstmal welche Basiselemente von den oben genannten Schritten durch die Einheitsmatrix abgebildet wird und vorallem auf welche?

Und warum müssen die anderen Basiselemente auf den Nullvektor  abgebildet werden?
  -   christian strack, verified kommentiert vor 10 Monate, 1 Woche

Das sind doch die y1 bis yr, die auf die Einheitsmatrix abgebildet werden? Was meinst du mit welche? Dass es eine Einheitsmatrix der Größe r x r ist?

Die anderen werden doch auf den Nullvektor abgebildet, weil wir das am Beginn mit dem Kern so festgelegt haben?

  -   tisterfrimster, kommentiert vor 10 Monate, 1 Woche

Worauf ich hinaus will. Im Bild sind alle Vektoren die tatsächlich von der Abbildung angenommen werden.

Von unserer Basis \( \{ x_1 , \ldots , x_n \) seien die ersten r Elemente, diese Vektoren, die die Vektoren die nicht im Kern sind erzeugen. Also diese die wir im zweiten Schritt ergänzt haben.

Im ersten Schritt für die Basis von W haben wir die Vektoren genommen, die von der Abbildung f durch die Basisvektoren \( x_1, \ldots , x_r \) angenommen werden. Das seien die Vektoren \( y_1 , \ldots , y_r \). Da diese Vektoren bereits unsere Basisvektoren sind reicht die Einheitsmatrix oben als Block um von der einen in die andere Basis abzubilden.

Multiplizieren wir die Matrix A mit dem Vektor

\( \begin{pmatrix} 1  \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix} \)

erhalten wir den selben jedoch im Vektorraum W. Im Vektorraum V ist das genau der erste Basisvektor der Basis von V und in W der erste Basisvektor der Basis von W.

Das ganze können wir auch mit der 1 an der zweiten Stelle machen usw. bis hin zur r-ten Stelle. Danach erhalten wir immer den Nullvektor.

Jetzt vergleich das ganze wieder mit der Abbildung. Warum wollen wir nur von den ersten r-Basiselementen von V auf die ersten r Basiselemente von W abbilden?
Und warum auf kein anderes Basiselement?

  -   christian strack, verified kommentiert vor 10 Monate, 1 Woche
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