Einfache Stochastik


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Hey Leute, ich habe eine sehr simple Aufgabe, allerdings bin ich mir mit meiner Lösung sehr unsicher. Zwei Ereignisse P(A) = P(B) = 1/2 und P(A Schnitt B) = 1/4. Gefragt ist nach der Wahrscheinlichkeit, dass genau eines dieser Ereignisse eintritt. Die Lösung ist 1, also das sichere Ereignis, oder? Vielen Dank schon mal

 

gefragt vor 9 Monate, 1 Woche
n
nuke,
Student, Punkte: 9
 
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2 Antworten
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Hallo,

ich sehe jetzt nicht, wieso es 1 sein müsste.

Zunächst können wir anmerken, dass \(A^c\neq B\), da sonst \(\mathbb{P}\left ( A\cap B \right )=\mathbb{P}\left ( A\cap A^c \right )=\mathbb{P}\left ( \emptyset \right )=0\neq \frac{1}{4}\).

Wir suchen nach der Wahrscheinlichkeit, dass genau eines der 3 Ereignisse \(A,B,A\cap B\) gilt. Also wenn eines der 3 gilt, muss das jeweilige Gegenteil der anderen beiden gelten. Formal also suchen wir

\(\mathbb{P}\left ( A\cap \left ( B^c\cap \left ( A\cap B \right )^c \right )\bigcup B\cap\left ( A^c\cap \left ( A\cap B \right )^c \right )\bigcup \left ( A\cap B \right )\cap \left ( A^c\cap B^c \right ) \right )\)

\(=\mathbb{P}\left ( A\cap \left ( B^c\cap \left ( A^c\cup B^c \right ) \right )\bigcup B\cap\left ( A^c\cap\left ( A^c\cup B^c \right ) \right )\bigcup \left ( A\cap B \right )\cap\left ( A^c\cap B^c \right ) \right )\)

\(=\mathbb{P}\left ( A\cap B^c\bigcup B\cap A^c\bigcup \emptyset \right )=(*) \mathbb{P}\left ( A\cap B^c\bigcup B\cap A^c\right )\) 

\(=\mathbb{P}\left ( A\cap B^c \right )+\mathbb{P}\left ( B\cap A^c \right )-\mathbb{P}\left ( \left ( A\cap B^c \right )\cap \left ( B\cap A^c \right ) \right )=\mathbb{P}\left ( A\cap B^c \right )+\mathbb{P}\left ( B\cap A^c \right )-\mathbb{P}\left ( \emptyset \right )\)

\(=\mathbb{P}\left ( A\cap B^c \right )+\mathbb{P}\left ( B\cap A^c \right )\)

Und somit dann \(\mathbb{P}\left ( A\cap B^c \right )+\mathbb{P}\left ( B\cap A^c \right )=\mathbb{P}\left ( A \right )\cdot\mathbb{P}\left ( B^c \right )+\mathbb{P}\left ( B \right )\cdot\mathbb{P}\left ( A^c \right )=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}\).

 

Wenn die Wahrscheinlichkeit bei 1 läge, so würde ja immer nur eines der 3 Ereignisse gelten.

Der Fall, dass alle 3 gleichzeitig eintreten, hätte dann ja Wahrscheinlichkeit 0. 

Da aber \(\mathbb{P}\left ( A\cap B\cap \left ( A\cap B \right ) \right )=\mathbb{P}\left ( A\cap B \right )=\frac{1}{4}\neq 0\) kann das ja nicht sein.

Gruß,

Gauß

 

*Edit*: Da war ich wohl zu voreilig. Da wir nur zwei Ereignisse betrachten, brauchst du erst ab \((*)\) anzufangen.

geantwortet vor 9 Monate, 1 Woche
carl-friedrich-gauss,
Lehrer/Professor, Punkte: 1964
 
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Hallo, da für deine Schnipsel gilt \(P(A)\cdot P(B)=P(A \cap B)\), also sie stochastisch unabhängig sind, gilt \(P(A\mid B)=P(A)\). Wenn es nur A und B gibt, liegt die Wahrscheinlichkeit bei 1.
geantwortet vor 9 Monate, 1 Woche
m
maccheroni_konstante, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 12501
 
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