Beschränktheit einer Folge


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Hallo, also das Thema Beschränktheit ist für mich total neu und ich versuche alle Aufgaben aus meinen Mathe Skript nachzuvollziehen. Jetzt bei dieser Aufgabe verstehe ich nicht so ganz, wie man vom linken zum rechten Term kommt. Die Wurzel von n^4 ist n^2, das ist klar, aber die Wurzel aus 2 ist doch 1(,41...)? Wo ist sie? Außerdem woran erkenne ich, dass es beschränkt ist? Nur weil wir das die ganze Zeit umgeformt haben und das kleiner gleich Zeichen verwendet haben?   Ich hoffe echt, dass ihr mir irgendwie helfen könntet.  

 

gefragt vor 9 Monate
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blondesgift,
Student, Punkte: 4
 
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1 Antwort
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Hallo,

die Wurzelfunktion ist (streng) monoton wachsend, d.h für \(x<y\) ist \(\sqrt{x}<\sqrt{y}\).

Da \(n^4+2>n^4\) ist \(\sqrt{n^4+2}>\sqrt{n^4}=n^2\).

Da wir das ganze im Nenner abgeschätzt haben, ist dann

\(\frac{n^2+20}{\sqrt{n^4+2}}\leq \frac{n^2+20}{\sqrt{n^4}}=\frac{n^2+20}{n^2}\).

Eine Folge \(\left ( a_n \right )_{n\in\mathbb{N}}\) heißt beschränkt, wenn \(\exists M\in\mathbb{R} \ \forall n\in \mathbb{N}:\left | a_n \right |<M\).

Also wenn du eine Zahl findest, sodass alle Folgenglieder im Betrag kleiner sind als diese Zahl.

Durch die ganzen Abschätzungen hast du gezeigt, dass \(\left | s_n \right |\leq 23\ \forall n\in\mathbb{N}\) gilt.

Also genau die Definition von Beschränktheit.

Alles soweit verstanden?

 

Gruß,

Gauß

geantwortet vor 9 Monate
carl-friedrich-gauss,
Lehrer/Professor, Punkte: 1964
 

Hallo,

 

ich denke schon, sobald ich eine Zahl finde die kleiner oder größer als M/m ist, dann ist die Funktion beschränkt?

Wenn ja, hab ich es soweit verstanden.

 

Vielen Dank
  -   blondesgift, kommentiert vor 9 Monate

Nein, eine Folge ist beschränkt, wenn eine Zahl existiert s.d. alle Folgenglieder betragsmäßig kleiner sind als diese Zahl.

Eventuell verstehe ich dich auch falsch und du meinst, dass eine Folge beschränkt ist, wenn \(m\leq a_n\leq M\).

Das ist ebenfalls richtig. M.a.W ist eine Folge beschränkt, wenn sie sowohl nach oben als auch nach unten beschränkt ist. Genau das habe ich durch den Betrag verdeutlicht.
  -   carl-friedrich-gauss, kommentiert vor 9 Monate
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