Totale Ableitung: Anschauliche Bedeutung


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Hallo, ich hab eine Frage zur totalen Ableitung eines Vektorfeldes \( \phi \) : \(\frac{d\phi}{dt} =  \sum_{k=1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_i} \frac{dx_i}{dt}\) . Handelt es sich hier anschaulich darum das man jetzt die Ableitung nach einer Variablen will, von der alle abhängen (nämlich t)? Und man diese addieren, weil jede Komponente zur Änderung beiträgt. Ließe sich das ganze auch so notieren (wegen der Kettenregel) \(\frac{d\phi}{dt} =  \sum_{k=1}^{n} \frac{\partial f}{dt}\) Danke im Voraus. Grüße, h Edit: die letzte Schreibweise scheint mir doch eher komisch.

 

gefragt vor 7 Monate, 3 Wochen
wirkungsquantum,
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4 Antworten
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Hallo,

im Gegenzug zum partiellen Differential, das nur Information über Ableitung in Richtung einer Koordinatenachse enthält, hat das totale Differential \( d\Phi\) Informationen über die komplette Ableitung.

Die Formel entsteht durch folgende Überlegung.

\( d\Phi = d\Phi_{(1)} + d\Phi_{(2)} + \ldots \)

Dabei bezeichnet \( d\Phi_{(1)} \) die totale Ableitung in die erste Richtung..

Im 1-D Fall ist der Zusammenhang zwischen dem totalen Differential der Funktion und dem totalen Differential der unabhängigen Variablen 

\( df = f'(x) dx \)

Somit erhalten wir die Formel

\( d\Phi = \sum_i \frac {\partial \Phi} {\partial x_i} dx_i \)

Haben wir nun Raumrichtungen die von t abhängen, also eine Funktion \( \Phi(x_1(t) , x_2(t) , \ldots) \) dann können wir wieder über den 1-D Fall den Zusammenhang \( dx_i = x_i'(t) dt \) finden und kommen somit auf

\( d\Phi = \sum_i \frac {\partial \Phi} {\partial x_i} x_i'(t) dt = (\sum_i \frac {\partial \Phi} {\partial x_i} x_i'(t)) dt \)

Oder anders geschrieben deine obige Formel

\( \frac {d\Phi} {dt} = \sum_i \frac {\partial \Phi} {\partial x_i} x_i'(t) = \sum_i \frac {\partial \Phi} {\partial x_i} \frac {dx_i} {dt}  \)

Die letzte Gleichung können wir nur mit der Parametrisierung t finden. Deshalb wird oft auf eine Parametrisierung zurückgegriffen um mit Vektorfelder besser rechnen zu können.

Dein letzter Ausdruck ist so nicht richtig. Das partielle Differential \( \partial x_i \) und das totale Differential \( dx_i \) sind nicht zwanghaft das selbe. Denk immer dran das \( \partial x_i \) und \( dx_i \) nicht wie Zahlen gehandhabt werden können.

\( \frac {\partial f} {dt} \)

Erfüllt soweit ich weiß keinen wirklichen mathematischen Sinn.

Tut mir leid das die Antwort dieses mal länger gedauert hat. Ich hoffe ich konnte die Frage klären.

Grüße Christian

geantwortet vor 7 Monate, 3 Wochen
christian strack, verified
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Ja man nutzt quasi die Kettenregel um einen "vernünftigen" Ausdruck für das totale Differential zu erhalten. Die beiden Ausdrücke hängen schon zusammen. Für eine total differenzierbare Funktion gilt im Punkt p die Approximation \( f(p+h) - f(p) \approx \sum_i \frac {\partial f} {\partial x_i} (p) h_i \) Die \( h_i\) stehen dabei für infinitesimale Änderungen, vergleichbar also mit unseren \( dx_i \). Ja genau die Aufsummierung machen wir weil die wir die Gesamtänderung durch die Summe der einzelnen Änderungen erhalten. Grüße Christian  
geantwortet vor 7 Monate, 3 Wochen
christian strack, verified
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Hallo Christian, kein Problem und Danke für die ausführliche Antwort, das ganze ist schon wesentlich klarer geworden🙂 Letztlich ist also das was man macht mit der mehrdimensionalen Kettenregel abzuleiten oder? Gibt es einen Grund das man speziell diesen Ausdruck totale Ableitung nennt? So wie ich das verstanden hab heißt ja eine Funktion total differenzierbar, falls sie linear approximierbar  ist, allerdings sehe dazwischen keinen wirklichen Zusammenhang (sofern es den überhaupt gibt und der Name nicht einfach nur symbolisch ist). Ach ja und noch zum Addieren der Differentiale: anschaulich macht man das ja, weil die gesamte/totale "Änderung" sich aus der Summe aller "Änderungen" bezüglich jeder Achse ergibt oder? "Dein letzter Ausdruck ist so nicht richtig" Oh stimmt, da war wohl die Gewohnheit der Physik durchgebrannt. Danke im Voraus. Grüße,    
geantwortet vor 7 Monate, 3 Wochen
wirkungsquantum,
Student, Punkte: 2020
 
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Sorry für die späte Antwort. Vielen Dank für die Hilfe, das ist schon wesentlich klarer geworden.
geantwortet vor 7 Monate, 2 Wochen
wirkungsquantum,
Student, Punkte: 2020
 
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