Komplexe Gleichungen lösen


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Hallo Zusammen, ich komme nicht so recht weiter. Die Aufgabe: Finden Sie alle Lösungen im Komplexen: z⁴+81=0 Ich habe folgendes gerechnet. Die 81 auf die andere Seite. Und davon den Betrag genommen. Dann den Winkel Phi ausgerechnet mit Arcustangens von Imaginärteil (0) und Realteil 81. Dann von z⁴ die Wurzeln gezogen, mit der Formel nte Wurzel aus Betrag mal cos von phi mal k mal 360° durch n + i mal sin von phi mal k mal 360° durch n. Ich komme da auf 3 mal 1) 0° 2) 90° 3)180° und 4)270°. Ich habe in den Lösungen nachgeschaut, dort steht allerdings 3 (cos φ + i sin φ) mit φ = 45° , 135° , 225° , 315°. Wo kommen die 45° differenz her? mit freundlichen Grüßen Fubero

 

gefragt vor 6 Monate, 3 Wochen
f
fubero,
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Hallo,

du hast am Anfang den Betrag gezogen. Das ist der Fehler. Die komplexen Zahlen 81 und -81 haben natürlich unterschiedliche Wurzeln.

Der Betrag in Polarkoordinaten bleibt dann der selbe. Für den Winkel in Polarkoordinaten gilt

\(  \varphi =
\begin{cases}
\text{arctan}( \frac {y} {x} ), & \text{wenn}\ x > 0  \\
\text{arctan}( \frac {y} {x} ) + \pi, & \text{wenn}\ x < 0 , y \geq 0 \\
\text{arctan}( \frac {y} {x} ) - \pi, & \text{wenn}\ x < 0 , y < 0  \\
\frac {\pi } {2}, & \text{wenn}\ x = 0 , y > 0  \\
\frac {- \pi } {2}, &  \text{wenn}\ x = 0 , y < 0
\end{cases} \)

Wir erhalten also \( \varphi = \pi \) und somit für z die Winkel aus der Lösung.

Grüße Christian

geantwortet vor 6 Monate, 3 Wochen
christian strack, verified
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