Matrix Diagonalisieren - Transformationsmatrix


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Hallo. Wenn ich mir die Transformationsmatrix  aus den Eigenvektoren baue, in welcher Reihenfolge müssen diese denn sein? Beispiel: Ich habe die Matrix: A=[1,0,0;0,0,3;0,3,0] Daraus bekomme ich folgende EV: E1=[0,-1,1] E2=[1,0,0] E3=[0,1,1] Diese habe ich dann normalisiert und in dieser Reihenfolge in die Transformationsmatrix gepackt. Dies scheint so aber nicht zu funktioneren. Es musste die Reihenfolge E2,E3,E1 sein. Wie komme ich darauf? Danke und Gruss

 

gefragt vor 7 Monate, 2 Wochen
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endorriar,
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2 Antworten
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Hallo,

eine wirklich richtige Reihenfolge gibt es dabei nicht.

Die Eigenvektoren bilden eine Basis. Mit dieser Basis können wir dann unsere lineare Abbildung schöner darstellen. Bekommen aber ganz grundsätzlich die selben Ergebnisse durch die unterschiedlichen Basisvektoren.

Jeder Eigenvektor hat seinen eigenen Eigenwert. Wenn du dann deine Transformationsmatrix aufstellst dann ist der erste Wert in deiner resultierenden Diagonalmatrix der Eigenwert zum ersten Eigenvektor. Somit kannst du die Diagonalmatrix je nach Reihenfolge umsortieren. Du bekommst aber immer eine Diagonalmatrix heraus.

Die Frage ist jetzt. Was ist die richtige Reihenfolge? Warum soll deine falsch sein? Häufig werden die Eigenwerte nach Größe sortiert und dann dementsprechend auch die Basisvektoren.

Grüße Christian

geantwortet vor 7 Monate, 2 Wochen
christian strack, verified
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Hallo Christian, danke für deine Antwort.

Wenn ich W so bestimme: W=[E1,E2,E3] und ich folgende Formel anwende: D=W*A*W^(-1) dann kommt für D keine Diagonalmatrix raus. Wenn ich allerdings W so bestimme: W=[E2,E3,E1] dann kommt die gewünschte Diagonalmatrix mit den Eigenwerten raus. Deshalb dachte ich es muss eine richtige Reihenfolge geben. Was mache ich falsch?

Gruss Endorriar

Edit: Jetz sehe ich gerade, dass ich die falsche Formel genommen habe. D=W^(-1)*A*W. So funktionert es. :-) 
Komisch aber, dass je nach Reihenfolge trotzdem eine Diagonalmatrix raus kommt. :-D

Danke für die Hilfe :-)

geantwortet vor 7 Monate, 2 Wochen
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endorriar,
Student, Punkte: 7
 
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