Ähnlichkeit von Matrizen


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Hallo und ein frohes Neues :) Zum Jahresbeginn versuche ich mich an dieser Aufgabe - Problem nur ist, dass ich die Ähnlichkeit von Matrizen mit dem B = SAS-1 noch nicht ganz verstehe. Hier ist die Aufgabe: Vermutlich wieder einfach, man muss nur wissen, wie es geht. Daher wieder vielen Dank, wenn mir das jemand zeigt! Viele Grüße.

 

gefragt vor 9 Monate, 2 Wochen
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tisterfrimster,
Student, Punkte: 163
 
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3 Antworten
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Hmm also ganz allgemein macht man das eigentlich über die Jordan-Normalenform, da dort alle Informationen enthalten sind, die gleich sein müssen bei ähnlichen Matrizen.

Wenn du das alles nicht gehabt hast, dann vielleicht so. Du berechnest das charakteristische Polynom. Das muss schon mal gleich sein. Das gibt dir die Information

\( \lambda = \mu = \alpha \)

Hattet ihr das Minimalpolynom? Dieses muss auch gleich sein.

Bis auf das Minimalpolynom und die Jordanform ist bei diesen beiden Matrizen mit der obigen Einschränkung alles gleich. Deshalb müsst ihr eigentlich eins der beiden Sachen behandelt haben.

Grüße Christian

geantwortet vor 9 Monate, 2 Wochen
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 14828
 

Uff. Wohl schon länger her :( Da das mit dem Polynom mir noch fremder erscheint, vermute ich, dass es doch über die Diagonalisierbarkeit gehen soll. Wie zeige ich denn, dass J nicht diagonalisierbar ist?   -   tisterfrimster, kommentiert vor 9 Monate, 2 Wochen

Wenn ihr das charakteristische Polynom nicht hattet wird das auch mit der Diagonalisierbarkeit schwierig.

Damit eine Matrix diagonalisierbar ist müssen die algebraische und geometrische Vielfachheit der Eigenwerte übereinstimmen und das charakteristische Polynom muss komplett über K zerfallen.

Über die Jordansche Normalenform ist eigentlich die einzige allgemeine Möglichkeit Ähnlichkeit bei Matrizen zu überprüfen. Zumindest soweit ich weiß.

Das einzige was mir sonst noch einfällt jedoch mühselig erscheint wäre das Gleichungssystem zu lösen.

\( S=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \)

\( \Rightarrow S^{-1}= \frac 1 {ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \)

Jetzt kannst du das berechnen

\( D = S J S^{-1} \)

Habs nicht durch gerechnet. Weiß nicht genau ob das zu einer Lösung führt.

Grüße Christian

  -   christian strack, verified kommentiert vor 9 Monate, 2 Wochen

Ich habe das jetzt nachgerechnet und meiner Meinung nach funktioniert das. Man erhält nach dem "Zusammenrechnen" der Matrizen ja die vier Einträge, die den anderen Einträgen von D gleichen müssen. Durch die zwei verschwindenden Einträge erhalte ich b = d = 0. Da in jedem Summanden für Lambda und My aber d bzw. b vorkommen, verschwinden diese auch und alle Einträge sind gleich null. Das wäre dann ja ein Widerspruch und deshalb können sie nicht ähnlich sein.   -   tisterfrimster, kommentiert vor 9 Monate, 2 Wochen

Ja wunderbar dann war es wohl doch nicht so aufwendig wie ich erwartet hatte. :)

Hört sich nach der richtigen Lösung an.

Grüße Christian
  -   christian strack, verified kommentiert vor 9 Monate, 2 Wochen
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Hallo und frohes neues Jahr :),

hattest du schon die Digonalisierbarkeit von Matrizen?

Ich denke der einfachste Weg wäre zu zeigen, dass J gar nicht digonalisierbar ist. Da D bereits eine Diagonamatrix ist könnten diese dann nicht ähnlich sein.

Hättest du 2 Matrizen die nicht diagonalisierbar sind könntest du die Jordansche Normalenform bestimmen. Diese müssen gleich sein wenn die Matrizen ähnlich sind.

Grüße Christian

geantwortet vor 9 Monate, 2 Wochen
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 14828
 
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Die Diagonalisierbarkeit hatte ich noch nicht konkret. Dass es Diagonalmatrizen gibt, wurde angerissen. Gibt es eine Alternative?
geantwortet vor 9 Monate, 2 Wochen
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tisterfrimster,
Student, Punkte: 163
 
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