Äquivalenzrelationen


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Hallo,   bei dieser Aufgabe habe ich leider keinen Ansatz. Mir sind Äquivalenzrelationen in etwa bekannt (reflexiv, symmetrisch, transitiv). Über einen Ansatz würde ich mich freuen! Vielen Dank.

 

gefragt vor 9 Monate, 2 Wochen
t
tisterfrimster,
Student, Punkte: 163
 
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3 Antworten
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Reflexivität bedeutet dass du zeigen sollst, das jede Matrix ähnlich zu sich selbst ist. Das ist eigentlich sehr einleuchtend. Welche Matrizen müssen S und T sein, mit A=B?

Symmetrie bedeutet, dass wenn A ähnlich zu B ist, auch B ähnlich zu A ist.

\( B = SAT \Rightarrow A = KBR \) mit \( K \in GL_m(K) \) und \( R \in GL_n(K) \)

Transitivität bedeutet, dass wenn A ähnlich zu B und B ähnlich zu C ist, dann ist auch A ähnlich zu C.

Der Trick bei der Symmetrie und Transitivität ist zu zeigen das es eben reguläre (invertierbare) Matrizen gibt, mit denen deine obige Gleichung erfüllt wird.

Zur ii)

Zum Verständnis, zwei Matrizen die ähnlich sind beschreiben im Prinzip die selbe lineare  Abbildung bezüglich einer anderen Basis.
Deshalb ist es denke ich recht schnell einsichtig das die beiden Matrizen auch den selben Rang haben müssen.

n ist nicht ganz richtig, Bei einer Matrix ist immer Zeilenrang=Spaltenrang. Bei einer mxn- Matrix, haben wir also m Zeilen und n Spalten. Nehmen wir mal an das \( m < n \) gilt. Dann können wir nicht mehr als m verschiedene Ränge haben, da immer Zeilenrang=Spaltenrang.

Also wie viele verschiedene Ränge gibt es?

geantwortet vor 9 Monate, 2 Wochen
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 14933
 

Bei der Reflexivität müssen S und T also die Einheitsmatrix sein?

Ich verstehe leider noch nicht ganz, was es mit der lineare Gruppe auf sich hat. Das sind die Einheiten aller Mat(K) ?

 

Also die Ränge wären dann ja das, was auch da vorkommt: min(m,n), oder?
  -   tisterfrimster, kommentiert vor 9 Monate, 2 Wochen

Ja genau. S die mxm Einheitsmatrix und T die nxn Einheitsmatrix.

Nun zur Symmetrie:

Die lineare Gruppe \( GL_n(K) \) enthält alle regulären (invertierbaren) nxn-Matrizen. Wenn wir jetzt die Gleichung \( B=SAT \) haben. Wie können wir die Gleichung nach A umstellen?  

 

Ja genau nur jetzt müssen wir uns noch überlegen woher die 1 kommt. Es gibt noch einen Rang den du nicht bedacht hast. Nur eine Matrix hat diesen Rang.

Das wichtige hinter dieser Aufgabe ist eben die Erkenntnis das durch die verschiedenen Ränge Äquivalenzklassen gebildet werden, also das ähnliche Matrizen den selben Rang besitzen. Deshalb auch meine anfängliche Frage ob ihr das hattet. Wenn nicht musst du das vielleicht noch zeigen.

Grüße Christian

  -   christian strack, verified kommentiert vor 9 Monate, 2 Wochen
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Hallo, zur i) Genau du musst Reflexivität \( a \sim a \) Symmetrie \( a \sim b \Rightarrow b \sim a \) Transitivität \( a \sim b \land b \sim c \Rightarrow a \sim c \) überprüfen. Zur ii) Habt ihr schon das ähnliche Matrizen den selben Rang haben? Wenn ja wie viele verschiedene Ränge können mxn Matrizen  haben? Grüße Christian
geantwortet vor 9 Monate, 2 Wochen
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 14933
 
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Die Überprüfung der Dinge bei (i). Wie gehe ich das an? Ich kann mir darunter nicht wirklich etwas vorstellen. zur (ii). Gut möglich, dass wir das schon hatten. Ich würde jetzt auf n verschiedene Ränge tippen?
geantwortet vor 9 Monate, 2 Wochen
t
tisterfrimster,
Student, Punkte: 163
 
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