Umformung einer Funktionen


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In der Vorlesung wurde die Formel \(\(cos^2) A = 1/2*(1 + \cos 2A)\) angegeben. Leiten Sie daraus ab, dass (\(cos^4) A = 1/8*(3 + 4 *\cos 2A +\ cos 4A)\) Könnte mir bitte jemand den Lösungsweg erklären wie ich diese Formel erreichen kann? Ich sitze schon ziemlich lange dran ^^
gefragt vor 4 Monate, 2 Wochen
e
ezio0826,
Student, 19
 

Ich hoffe die Formeln werden richtig abgebildet, verstehe mathjax noch nicht zu 10

Sonst hier die Schreibweise ohne code:

(cos^2) A = (1/2) * (1 + cos2A)

 

in

(cos^4) A = (1/8) * (3+4 cos2A + cos4A) 

umformen

  -   ezio0826, kommentiert vor 4 Monate, 2 Wochen
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5 Antworten
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Also du willst \(\cos^2 (A) = \dfrac{1}{2} \cdot (1 + \cos(2A))\) umwandeln?

Ist A eine Variable / Parameter?

 

Für Mathjax [code]
\( ... \)
[/code] setzen (ohne den code allerdings!)

geantwortet vor 4 Monate, 2 Wochen
m
maccheroni_konstante,
Sonstiger Berufsstatus, 5621
 
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A ist eine Variable, ja! danke für die schnelle Antwort und Ich werde mich bemühe mathjax jetzt besser zu verwenden.

PS: da in dem Dokument von Daniel Jung erwähnt wird, dass beim cos zb auch ein \ hingehört war ich verwirrt aber ich denke jetzt hab ich es kapiert danke :)

geantwortet vor 4 Monate, 2 Wochen
e
ezio0826,
Student, 19
 

Man kann es auch weglassen, aber dann sieht es so aus \(cos(2x)\) und nicht so \(\cos(2x)\)

  -   maccheroni_konstante, kommentiert vor 4 Monate, 2 Wochen
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Also, du weißt, dass \(\cos^2(x)=\dfrac{1}{2}\, \left ( 1+\cos(2x)\right )\) gilt.

Da für \(\cos^4\) \(\dfrac{1}{8}\) gilt, liegt nahe, dass es nach der Form \(\dfrac{1}{2^n}\) funktioniert.

Für den Wert in der Klammer kannst du für \(\cos^n\) sagen, dass dieser \(\sum\limits_{k=0}^{n}\displaystyle\binom{n}{k}\cos((n-2k)x))\) mit \(n \in \mathbb{N}\) entspricht.

 

Wenn du es direkt daraus ableiten sollst, müsste man erstmal zeigen, dass cos^2 A überhaupt der rechten Seite entspricht. 

\(1\cos^2(x)=1\cos^2(x)
\\1\cos^2(x)=0.5(2\cos^2(x)
\\1\cos^2(x)=0.5(2\cos^2(x)-1+1)
\\1\cos^2(x)=0.5(1\cdot 2\cos^2(x)-1+1)
\\1\cos^2(x)=0.5(1\cos(2x)+1)\)

Für cos^4 gilt nun mit \(x:=A\)

\(8\cos^4(x)=3+4\cos(2x)+\cos(4x) \) Multiplikation mit 8

\(8 \dfrac{(\cos(2x)+1)^2}{4}=3+4\cos(2x)+\cos(4x) \) wir sagen \(\cos^4(x)=\dfrac{1}{4}(\cos(2x)+1)^2)\)

\(\dfrac{8(1+2\cos(2x)+\cos^2(2x))}{4}=3+4\cos(2x)+\cos(4x) \) wobei \((\cos(2x)+1)^2)=1+2\cos(2x)+\cos^2(2x)\) ist

\( \dfrac{8(1+2\cos(2x)+\frac{\cos(4x)+1}{2})}{4}=3+4\cos(2x)+\cos(4x)\)  es gilt \(\cos^2(2x)=\dfrac{1}{2}\cos(4x)+\dfrac{1}{2}\)

\(  \dfrac{8(1+2\cos(2x)+\frac{1}{2}+\frac{\cos(4x)}{2})}{4}=3+4\cos(2x)+\cos(4x) \) denn \(\dfrac{\cos(4x)+1}{2}=\dfrac{1}{2}\cos(4x)+\dfrac{1}{2}\) die 1+ \(\frac{1}{2}\) aus dem letzten Nenner können wir zu \(\frac{3}{2}\) zusammenfassen

\(  \dfrac{8\left (\dfrac{3}{2}+2\cos(2x)+\frac{1}{2}\cos(4x)\right)}{4}=3+4\cos(2x)+\cos(4x)\) aufteilen der Brüche und Multip. mit 4  zu \(\dfrac{3}{8}+\dfrac{\cos(2x)}{2}+\dfrac{\cos(4x)}{8}\)

\(8\left (\dfrac{3}{8}+\dfrac{\cos(2x)}{2}+\dfrac{\cos(4x)}{8}\right)=3+4\cos(2x)+\cos(4x)\) Multipl. mit 8 bringt

\(3+4\cos(2x)+\cos(4x)=3+4\cos(2x)+\cos(4x)\)

geantwortet vor 4 Monate, 2 Wochen
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maccheroni_konstante,
Sonstiger Berufsstatus, 5621
 
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Ganz hab ich es noch nicht verstanden aber ich werde solange dran studieren bis ichs verstehe! :D Aber scheint sehr detailliert erklärt zu sein also danke dafür!

Eine frage hätte ich noch bezüglich der vorgehensweise in diesen beiden Zeilen:

\( 1cos^2(x)=0.5(12cos^2(x)1+1)

1cos^2(x)=0.5(1cos(2x)+1) \)

Welche Regel wurde hier genau verwendet um den 2fachen cos wegzubekommen? Würde mich über eine erneute antwort sehr freuen :) danke

 

geantwortet vor 4 Monate, 2 Wochen
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ezio0826,
Student, 19
 

\(\cos^2(x)=\dfrac{1}{2}(\cos(2x)+1) \Rightarrow 2\cos^2(x)=\cos(2x)+1\)

  -   maccheroni_konstante, kommentiert vor 4 Monate, 2 Wochen
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Hallo, ich möchte noch einen sehr einfachen und eleganten Weg angeben (auch wenn ihr es anders beweisen solltet): Es gilt \(cos(x)=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\) \(\Rightarrow cos^4(x)=\frac{\left (e^{ix}+e^{-ix} \right )^4}{2^4}\) \(\Leftrightarrow cos^4(x)=\frac{1}{16}\left (4e^{-2ix}+4e^{2ix}+e^{-4ix}+e^{4ix}+6 \right )\) \(\Leftrightarrow cos^4(x)=\frac{1}{8}\left ( 4\frac{e^{-2ix}+e^{2ix}}{2}+\frac{e^{-4ix}+e^{4ix}}{2}+\frac{6}{2} \right )\) \(\Leftrightarrow cos^4(x)=\frac{1}{8}\left ( 4cos(2x)+cos(4x)+3 \right )\).   Gruß, Gauß  
geantwortet vor 4 Monate, 1 Woche
carl-friedrich-gauss,
Lehrer/Professor, 1964
 
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