Trigonometrische Gleichung


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Hallo Ich hätte da eine Frage zu trigonometrischen Gleichungen. Ich möchte gerne anhand einer Aufgabe den Grundgedanken zum Lösen wissen damit ich andere Aufgaben derselben Lösen kann.   Aufgabe: Bestimmen sie alle Lösungen von x   3 sin( 2x )=6 cos( x )-6 cos ( 2x )-sin² (x ) Ich würde mich auf eine Antwort freuen MfG   Stephan

 

gefragt vor 8 Monate, 2 Wochen
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spax112,
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1 Antwort
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Hallo, das ist bei trigonometrischen Gleichungen nicht immer so einfach. Ich habe mal etwas rumgerechnet und komme auf folgenden Ansatz: \( 3 \sin(2x) = 6 \cos(x) - 6 \cos(2x) -\sin^2(x) \\ \Rightarrow 6 \sin(x) \cos(x) = 6 \cos (x) - 6 \cos^2 (x) + 5 \sin^2(x) \\ \Rightarrow 6 \cos(x) \sqrt{1- \cos^2 (x)} = 6 \cos (x) - 6 \cos^2 (x) +5 \sqrt{1- \cos (x) } \\ \Rightarrow 6 \cos(x) \sqrt{1- \cos^2 (x)} = 6 \cos (x) - 6 \cos^2(x) +5 - 5 \cos ^2 (x) = -11 \cos^2 (x)+ 6 \cos (x) + 5 \\  \Rightarrow 36 \cos^2 (x) (1- \cos^2 (x) = (-11 \cos^2 (x)+ 6 \cos (x) + 5)^2 \) Substituiere \( t = \cos(x) \) und löse die Gleichung. Dann zurück substituieren und du erhälst die Lösungen. Natürlich sind auch alle \( 2\pi \)vielfachen dieser Lösungen auch Lösungen. Grüße Christian
geantwortet vor 8 Monate, 2 Wochen
christian strack, verified
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