Spektrum, stetige Funktionen


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Hallo, bei dieser Aufgabe fallen mir leider zunächst keine Ideen ein. Deshalb wäre ich wie immer dankbar für eine Idee.

 

gefragt vor 8 Monate, 2 Wochen
t
tisterfrimster,
Student, Punkte: 163
 
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2 Antworten
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Hallo,

wieso kann \( \lambda = 0 \) nicht Eigenwert sein? \( e^x \) ist bereits Eigenvektor. Zu welchen Eigenwert?

Die Funktion \( \sin(2\pi x) \) ist ebenfalls ein Eigenvektor. Wieso?

Grüße Christian

geantwortet vor 8 Monate, 1 Woche
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 14508
 

Das kann ich mir absolut nicht erklären. :(   -   tisterfrimster, kommentiert vor 8 Monate, 1 Woche

Die Abbildung A schickt jeden Funktion f(x) auf die Funktion f(x+1).

\( A(f(x)) = f(x+1) = \lambda \cdot f(x) \)

Wenn jetzt \( \lambda = 0 \) gilt. Was bedeutet das für die Funktion an jeder Stelle?

Prüfe mal die Funktio  \( \sin(2\pi x ) \).

Du musst dafür die Additionstheoreme nutzen. Führe sie dann wieder auf die Funktion \( \sin(2\pi x ) \) zurück.

Grüße Christian
  -   christian strack, verified kommentiert vor 8 Monate, 1 Woche
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Hallo,   es bliebe allerdings noch zu zeigen, wieso \(\lambda\in\mathbb{R}\setminus\left \{ 0 \right \}\) ein Eigenwert ist. Bis jetzt ist lediglich klar, dass \(0\notin\sigma\left ( A \right )\ni\left \{ 1,e \right \}\).   Wegen \(\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}a^{x}=a^x\cdot ln(a)\) ist \(a^x\) stetig \(\forall a>0\). Dadurch können wir schonmal folgern, dass \(\mathbb{R}_{>0}\in \sigma\left ( A \right )\). Es bleibt also noch zu zeigen, dass \(\mathbb{R}_{<0}\in \sigma\left ( A \right )\).   Sei nun \(a\in\mathbb{R}_{>0}\). Da \(sin(-3\pi\left ( x+1 \right ))=-sin(-3\pi x)\)  und \(a^{x+1}=a\cdot a^x\) So folgt für \(f\left ( x \right ):=a^x\cdot sin(-3\pi x)\): \(A(f(x))=f(x+1)=a^x\cdot a\cdot \left ( -sin(-3\pi x) \right )=-a\cdot f(x)\). Daraus folgt wegen \(A(f(x))=-a\cdot f(x)\stackrel{!}{=}\lambda\cdot f(x)\), dass \(\lambda=-a\). Damit ist gezeigt, dass \(\mathbb{R}_{<0}\in \sigma\left ( A \right )\). Insgesamt gilt also : \(\mathbb{R}\setminus\left \{ 0 \right \}=\sigma\left ( A \right )\). \(\blacksquare\)   Gruß, Gauß.
geantwortet vor 8 Monate, 1 Woche
carl-friedrich-gauss,
Lehrer/Professor, Punkte: 1964
 
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