Konvergente Teilfolgen einer Folge finden.


0
Hallo, ich habe ein Problem mit Teilfolgen und zwar verstehe ich was Teilfolgen und Folgen sind, aber die Aufgabe vom Übungsblatt kriege ich nicht gelöst, da mir die allgemeine Herangehensweise fehlt. In unserem Skript steht dazu nichts, was mir weiterhelfen würde. Die Aufgabe: 1. Finden sie alle konvergenten Teilfolgen der Folge: 1, -1, -1, 1, 1, 1, -1, -1, -1, -1, 1, 1, 1, 1, 1,... 2. Für welche reellen Zahlen a gibt es eine Teilfolge der Folge 1/2, 1/3, 2/3, 1/4, 2/4, 3/4, 1/5, 2/5, 3/5, 4/5,.... die gegen a konvergiert? Wie soll man allgemein bei so einer Aufgabe vorgehen? Ich verstehe worauf die zwei Aufgaben hinauslaufen und wie sich die Folge fortsetzt, aber wie bestimme ich alle Teilfolgen?   Danke im Voraus und viele Grüße!

 

gefragt vor 6 Monate, 1 Woche
h
anonym,
Punkte: 28
 
Kommentar schreiben Diese Frage melden
3 Antworten
0

Hallo,

eine Teilfolge ensteht, indem wir Folgeglieder weglassen. Die erste Folge besteht beispielsweise nur aus den Elementen -1 und 1. Alternierende Folgen (solche die ihr Vorzeichen wechseln) konvergieren nicht, außer sie sind Nullfolgen.

Also können wir hier nur 2 konvergente Teilfolgen gewinnen. Die erste Folge ist

\( a_{n_1}= 1,1,1,1, \ldots \)

Die konvergiert gegen 1. Welche ist die 2te?

Zur 2 ein Tipp. Die Folge

\( a_{n_k} = \frac 1 k \)

Gegen welches a  konvergiert sie?

Grüße Christian

geantwortet vor 6 Monate, 1 Woche
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 13398
 
Kommentar schreiben Diese Antwort melden
0
Vielen Dank für die Antwort! Also a_n_2 wäre dann logischerweise: a_n_2 = -1, -1, -1, -1,.. Nur damit ich das jetzt richtig verstehe, wenn wir jetzt beispielsweise eine divergierende? Folge wie: 1, 2, 2, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4,... hätten. Gäbe es dann unendlich viele Teilfolgen? Also: z_n_1= 1,1,1,... ; z_n_2= 2,2,2,... ; z_n_3= 3,3,3,... ; z_n_4= 4,4,4,.. ; usw. Oder stimmen diese Teilfolgen überhaupt nicht? Bei uns im Skript steht das sehr missverständlich, bin mir bei diesem Thema noch sehr unsicher.   Zur Aufgabe 2: a_n_k= 1/k konvergiert gegen 0. Wenn ich jetzt aber die Folge fortsetze gelange ja irgendwann zu bspw 999/1000 was zu 0,999 konvergiert, je höher  es wird umso näher konvergiert es an die 1. Ist das jetzt die Lösung? Verstehe die Aufgabenstellung nicht so richtig.   Viele Grüße
geantwortet vor 6 Monate, 1 Woche
h
anonym,
Punkte: 28
 
Kommentar schreiben Diese Antwort melden
0

Ganz allgemein:

Haben wir eine Folge \( a_n \), dann erhalten wir eine Teilfolge \( a_{n_k} \) von \( a_n \), indem wir bestimmte Folgeglieder weglassen.

Als Beispiel die Folge

\( a_n = n = ( 1,2,3,4,5,6, \ldots ) \)

Nun erhalten wir zum  Beispiel bereits eine Folge indem wir sagen wir wollen alle Folgeglieder außer das dritte haben, also

\( (a_n)_{n \in \mathbb{N}\backslash \{3\}} = (1,2,4,5,6,7,\ldots ) \)

Du könntest auf alle geraden Zahlen nehmen, mit n= 2k 

\( a_{n_k} = 2k = (2,4,6,8, \ldots ) \)

Zur 2)

Du hast recht, das \( \frac 1 k \) gegen 0 konvergiert.

Nun gibt es noch eine Folge, und das ist die auf die du vermutlich hinaus wolltest. Wir können als weitere konvergente Folge die Folge

\( \frac {n} {n+1} = \frac n n \frac 1 {1+ \frac 1 n } \to 1 \)

Es gibt sogar noch mehrere. Ich denke mal nicht das ihr alle finden müsst oder? Es gibt da zum Beispiel noch die Folge

\( a_{n_k} = \frac 1 {k^2} \)

oder mit einer anderen Potenz von k. Also tatsächlich hier unendlich viele konvergierende Folgen.

Grüße Christian

geantwortet vor 6 Monate, 1 Woche
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 13398
 
Kommentar schreiben Diese Antwort melden

Deine Antwort
Hinweis: So gibst du Formeln ein.