Ableitung Potenz mit einer Potenz


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Hallo Zusammen, ich stehe vor folgender Aufgabe: \( y=x^{x^{2}}\) Als Ergebnis kommt laut Übungsbuch folgendes Ergebnis raus. \( f'(x)= (2 ln x +2)x^{x^{2}} \) Warum?

 

gefragt vor 7 Monate, 1 Woche
s
soleriuz,
Student, Punkte: 4
 
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2 Antworten
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Hallo, die von Maccheroni angesprochene Regel ist zwar richtig, wird aber in vielen Vorlesungen nicht behandelt. Daher möchte ich dir noch eine weitere Möglichkeit mitgeben: Es gilt \(x^{x^{2}}=e^{ln(x^{x^{2}})}=e^{x^2ln(x)}\) und damit : \(\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}x^{x^{2}}=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}e^{x^2ln(x)}\) \(=e^{x^2ln(x)}\cdot \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}x^2ln(x) =e^{x^2ln(x)}\cdot \left ( 2xln(x)+\frac{1}{x}x^2 \right ) =e^{x^2ln(x)}\cdot \left ( 2xln(x)+x \right ) = x^{x^{2}}\left ( 2xln(x)+x \right )\)   Gruß, Gauß
geantwortet vor 7 Monate, 1 Woche
carl-friedrich-gauss,
Lehrer/Professor, Punkte: 1964
 
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Hallo, mit der verallgemeinerten Potenzregel gilt \(\left [ u(x)^{v(x)} \right]'=u(x)^{v(x)} \cdot \left [ \ln(u(x)) \cdot v(x)\right ]'\). In deinem Fall nun: \(\left [ x^{x^2}\right ]'=x^{x^2} \cdot \left [ \ln(x)\cdot x^2\right ]' \\= x^{x^2}\left (2x\ln(x) +\dfrac{1}{x}x^2\right ) \\=x^{x^2}(2x\ln(x)+x)\)
geantwortet vor 7 Monate, 1 Woche
m
maccheroni_konstante, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 11051
 
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