Endomorphismus und Diagonalisierbarkeit


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Hallo,

 

bei der folgenden Aufgabe tue ich mich schwer auf die Matrix A zu kommen. Wie berechne ich bei 4x4-Matrizen das charakteristische Polynom? Ich weiß nur, wie man die Determinante über den Gauß-Algorithmus bestimmen kann.

Wie steht das alles in Zusammenhang mit der Charakteristik?

Vielen Dank!

 

La1
gefragt vor 9 Monate
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tisterfrimster,
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9 Antworten
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Hallo,

hmm also warum A eine 4x4 Matrix sein soll ist mir nicht klar. Da \( f \in End(V) \) und \( V= Mat_2(K) \) ist kann A ja nicht plötzlich eine 4x4 Matrix sein. Es macht auch nur Sinn wenn A eine 2x2 Matrix ist, da ja \( A \cdot B = ^tB \) gelten soll. Und dies gilt für quadratische Matrizen nur wenn beides nxn Matrizen sind.

Am besten fragst du einmal nach ob dort ein Fehler vorliegt.

Ich kann es dir ja mal am 2x2 Fall erklären.

Die Matrix A bestimmst du indem du dir eine Matrix 

\( A = \begin{pmatrix} w & x \\ y & z \end{pmatrix} \)

nimmst un die Matrixmultiplikation mit B einmal durchführst. Das Ergebnis muss die transponierte von B sein. Daraus kannst du dann für w,x,y und z ein Gleichungssystem aufbauen. Daraus erhälst du A.

Die Determinante einer 2x2 Matrix ist dir sicher geläufig

\( det(B) = ad-bc \)

Ab 4x4 Matrizen musst du die Determinante entweder mit dem Gauß-verfahren lösen, oder mit dem Laplacschen Entwicklungssatz ( https://www.youtube.com/watch?v=AnezNBuRkEY ). 

Zur Charakteristik wird dir vermutlich was auffallen wenn du die Eigenwerte bestimmt hast. Ich habe es noch nicht durch gerechnet. Kann es nachher gerne mal tun.

Grüße Christian

geantwortet vor 9 Monate
christian strack, verified
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0

Das ist tatsächlich merkwürdig. Die Idee mit dem Gleichungssystem hatte ich auch. Nun habe ich als Gleichungen:

a = wa + xc

b = ya + zc

c = wb + xd

d = yb +zd

Ist das korrekt? Ich weiß nicht, wie ich daraus Werte für die Einträge der Matrix A gewinnen kann, weil das alles irgendwie miteinander verschachtelt ist... Vielleicht ist mit der 4x4-Matrix das LGS in Matrixform gemeint? Halte ich aber für unwahrscheinlich.

Die zweite Aufgabe sollte ja flott gehen, wenn ich A habe. Mit der dritten muss ich dann sehen, ob mir etwas auffällt.

 

Viele Grüße!

 

geantwortet vor 9 Monate
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tisterfrimster,
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Das Gleichungssystem ist korrekt. In deinem Gleichungssystem sind jetzt w,x,y und z die Unbekannten und a,b,c und d sind Parameter.

Diese Gleichungssystem kann nun gelöst werden. 

\( \Rightarrow \\ 1 = w + \frac c a x \\ \frac c b = w + \frac d b x \\ \frac b a = y + \frac c a z \\ \frac d b = y + \frac d b z \)

Nun kannst du die Differenz der ersten und zweiten und die Differenz der dritten und vierten ziehen und erhälst jeweils eine Gleichung für x und z. Durch einsetzen erhälst du die restlichen. 

Grüße Christian

 

geantwortet vor 9 Monate
christian strack, verified
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Ich habe jetzt die Differenzen gebildet, aber da kommen nur wilde Brüche heraus. Spätestens bei der Multiplikation mit diesen Einträgen der Matrix A verliere ich den Überblick. Magst du mir noch einen Schritt weiterhelfen? Vielen Dank! :)

geantwortet vor 9 Monate
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tisterfrimster,
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Es kürzt sich am Ende ein bischen was raus, aber durch die wilden Brüche muss man tatsächlich durch.

Ich habe als Lösung heraus

\( A= \frac 1 {bc-ad} \begin{pmatrix} c^2-ad & ab-ac \\ cd-db & b^2-da \end{pmatrix} \)

Ich habe auch die Probe gemacht, es passt.

Beim charakteristischen Polynom wirst du auch wilde Brüche haben. Habe es noch nicht ganz zu Ende gerechnet aber da kürzt sich auch schon mal ein riesen Bruch zu 1 weg. Also nicht verzagen ;)

Grüße Christian

geantwortet vor 9 Monate
christian strack, verified
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Ja, das stimmt. Ich habe das auch beim charakteristischen Polynom bekommen. Die Lösungen kann ich leider nicht bestimmen! Die Wurzel kann ich ja nicht wirklich ziehen. 

geantwortet vor 9 Monate
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tisterfrimster,
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Das stimmt wohl aber mit einem Trick können wir das dennoch berechnen. 

Überlege dir folgendes:

Unsere Abbildung \( f \) bildet eine Matrix \( B \) auf ihre Transponierte \( ^tB\) ab. 
Für einen Eigenvektor \( B \) von \(f\) gilt \( f(B) = T \cdot B \), mit \( T \) dem Eigenwert von \( B \). Nun kann man sich aber leicht überlegen welche Matrizen nur als Eigenvektoren in Frage kommen. 

Da durch das transponieren einer Matrix die Hauptdiagonale unberührt bleibt kommt nur welcher Eigenwert in Frage?
Welche Eigenschaft muss eine Matrix haben, damit beim transponieren wieder die selbe Matrix heraus kommt?

Wenn du diese beiden Fragen beantworten kannst, findest du eine Einschränkung für deine \(a,b,c \) und \( d \). 

Setzt du dann deine Einschränkung in dein charakteristisches Polynom ein, so löst es sich in Wohlgefallen auf. ;)

Anhand deines charakteristischen Polynoms wirst du dann auch deine Antwort für iii) finden.

Grüße Christian 

geantwortet vor 9 Monate
christian strack, verified
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Ich gebe dir noch den Tipp das nur symmetrische Matrizen Eigenvektoren sein können. Und zwar nur zum Eigenwert \(1\).

Dadurch ergibt sich welche Einschränkung von \(a,b,c\) und \( d\)?

Grüße Christian

geantwortet vor 8 Monate, 4 Wochen
christian strack, verified
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Ich habe das jetzt nachgerechnet und erhalte als Lösung 1+/- sqrt(2). (Ich habe b=c gesetzt). Weil die zwei in der Wurzel steht, kann die Charakteristik nicht 2 sein? Ich verstehe den Begriff der Charakteristik noch nicht so genau.

geantwortet vor 8 Monate, 3 Wochen
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tisterfrimster,
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