Darstellungsmatrizen


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Bei a habe ich folgendes rausbekommen

(1   0

 0   -1) ist das richtig?

 

gefragt vor 5 Monate, 1 Woche
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malro10,
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Hallo,

es ist 

\( \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \)

Das kannst du immer leicht überprüfen, indem du die Probe machst.

\( \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \cdot x + (-1) \cdot y \\ 1 \cdot x + 0 \cdot y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -y \\ x \end{pmatrix} \)

Grüße Christian

geantwortet vor 5 Monate
christianteam,
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 12693
 
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Ok danke!

bei den weiteren Aufgaben war ich mir trotzdem Iwie noch unsicher. Ich habe folgende Lösungen:

b) habe ich nicht, weil ich da noch nicht wirklich weiß wie ich das machen soll

c) (-1  1

      0  1)

d)  (0,5  -0,5

       -0,5  -0,5)

e)  (-1  1

       1  1)

 

geantwortet vor 5 Monate
m
malro10,
Student, Punkte: 108
 
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Hallo,

ich habe teilweise abweichende Lösungen. Gehen wir erst einmal kurz die Theorie durch.

Eine Abbildungsmatrix bildet von Basis auf Basis ab. Deshalb ist auch je nach Basiswahl unsere Abbildungsmatrix unterschiedlich.

Ich hatte dir in einer Frage erzählt, dass die Spaltenvektoren einer Abbildungsmatrix in Verbindung mit der Basis des Bildes stehen. 

Um nun die Basis des Bildes zu berechnen, machen wir folgendes:

Wir haben die Abbildung \( f: (V=\mathbb{R}^2) \to (W=\mathbb{R}^2) : (x,y) \mapsto (-y,x) \)

Nun nehmen wir uns die Basis \((v_1,v_2 \ldots ) \) von \( V \) (Da wir als \( V \) den \( \mathbb{R}^2 \) haben, haben wir natürlich nur 2 Basiselemente) und schicken diese einmal durch unsere Abbildung.

Schauen wir uns das einmal an der b) an.

\( f(b_1) = f\left( \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \right) = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \)
\( f(b_2) = f\left( \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right) = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \end{pmatrix} \)

Nun haben wir unsere Basis des Bildes. Diese müssen wir nun noch durch eine Basis von \( W \) darstelllen. Die Basis von \( W \) ist \( ( b_2 , b_1 ) \). 

\(  \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = 1 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} + 0 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = 1 b_2 + 0 b_1 \)
\( \begin{pmatrix}  -1 \\ 0 \end{pmatrix} = 0 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} + (-1) \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = 0 b_2 + (-1) b_1 \)

\( \Rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \)

Die Vorfaktoren schreibst du dann Spaltenweise in die Matrix. Also die Koeffizienten von \( f(b_1) \) in die erste Spalte und die Koeffizienten von \( f(b_2) \) kommen dann in die zweite Spalte.

Bei der d) habe ich das selbe Ergebnis bei c) und e) habe ich eine leicht veränderte Matrix. Zur Kontrolle:

c) \( \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \)

e) \( \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \)

Grüße Christian

 

geantwortet vor 5 Monate
christianteam,
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