Anzahl der Äquivalenzklassen bei der Matrizenäquivalenz


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Sei K Körper. Auf K hoch (n x m) sei die Äquivalenzrelation definiert. Wie viele Äquivalenzklassen ibt es in K hoch (n x m) ? (+ Beweis)

Kann mir hier jemand helfen?

Ich habe absolut keine Ahnung wie ich vorgehen soll, obwohl es noch folgenden Hinweis gibt:

Man zeige für die Matrizen M und M´Element von K hoch (n x m): M ist äquivalent zu M´genau dann wenn Rang (M) = Rang (M´).

Hier soll man daran denken, dass es zu jedem K-linearen f mit Rang (f) = r Basen Bm in K hoch m und Bn in K hoch n gibt, sodass M(f; Bm,Bn) die Normalfomrm von f besitzt.

 

 

gefragt vor 9 Monate
n
nathisarah,
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1 Antwort
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Hallo,

du hast keine Äquivalenzrelation angegeben, aber ich vermute es ist die Äquivalenzrelation

\( B = S^{-1} A T \) mit \( S \in \ GL_n(K) \) und \( T \in \ GL_m(k) \). 

Also was du hier zuerst zeigen musst ist, dass zwei ähnliche Matrizen den selben Rang haben. Das ist eigentlich sehr einleuchtend.

Dein zweiter Hinweis beschreibt folgendes:

Zu jedem \( f \in End_K(V) \) gibt es Basen \( A \in K^m \) und \( B \in K^n \). Zu je einer Basis \(  A_0\) und \( B_0 \) gibt es eine eindeutige Darstellungsmatrix \( M_0 \). 
Die Matrix verändert sich, bei einer neuen Wahl der zwei Basen. \(  A_1 , B_1 \Rightarrow M_1 , M_1 \neq M_0 \)

Nun sind unsere Matrizen \( M_0 \) und \( M_1 \) aber ähnlich zueinander, denn das ist genau die Idee hinter Ähnlichkeit.
Die Beiden Matrizen \( S, T \) erhalten den Endomorphismus, ändern aber die Darstellungsbasis. 

Wie kommen wir von diesem Gedanken nun dahin, das zwei ähnliche Matrizen den selben Rang haben?

Grüße Christian

geantwortet vor 9 Monate
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 14933
 
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