Komplexe Gleichungen Lösen


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Guten Tag,

ich hätte eine Frage bezüglich des Lösens komplexer Gleichungen. Auch nach längerem Suchen finde ich leider kein richtiges allgemeines Rezept das immer funktioniert und die Lösungen aus den Übungen finde ich immer etwas unverständlich.

Hier mal ein Beispiel: z^6 = \frac {-1}{2}\ + i\frac\{sqrt{3}}{2}\\ (Falls meine Formatierung nicht rightig klappt hier nochmal als Text: " z^6 = -1/2 + i * sqrt(3)/2 " )

Die Aufgabenstellung lautet: Geben Sie alle komplexen Lösungen folgender Gleichung in Polarkoordinatenform

z = re^{iϕ} an. Mein Ansatz wäre nun, das erst in Polarkoordinaten umzuwandeln. Also einmal:

r = sqrt{(1/2)^2 + (sqrt{3}/2)} = 1           

ϕ: arctan(-sqrt{3}) = -pi/3       

Hier hätte ich Frage 1) Wie komm ich von dem Ergebnis für ϕ nun auf den gesuchten Wert in Polarkoordinaten? Ich stelle mir immer den Einheitskreis vor und gucke ungefähr in welche Richtung das geht, aber ich würde es gerne verstehen :)

Es ergbit sich nun: z^6 = e^{\frac {2pi}{3}\}      //Ohne Formatierung: z^6 = e^(2pi/3)

Jetzt könnte ich noch die sechste Wurzel ziehen ... Und jetzt? Wie ginge es jetzt weiter? Löst man das mit ln auf? Wonach formt man um? Ich sehe immer verschiedenste Vorgehen wie zum Beispiel: z^6 = e^{\frac {2pi}{3}\} * e^{\frac {i2pix}{n}} oder: z^6 * e^{i6ϕ} = e^{\frac {2pi}{3}\}

(Nochmal ohne Formatierung: z^6 = e^(2pi/3) * e^(i2PIx/n),

z^6 * e^(i6ϕ) = e^(2pi/3) Entschuldigung falls es etwas unordentlich ist, ich hoffe ihr versteht mein Problem trotzdem, vielen Dank:) )

Ich hoffe mir kann jemand weiterhelfen, vielen Dank :)

 

gefragt vor 8 Monate
s
sorbitwiezuckerersatz,
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3 Antworten
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Oh 'tschuldige ich habe es falsch herum geschrieben. Du schließt mit \) den Latex Befehl hab.

Wenn du alle Lösungen suchst, gehst du von

\( z_k = e^{i  \frac {\Phi+ 2k\pi} n } \) mit \( k = 0,1,2, \ldots , n-1 \)

Da wir \( z^6 \) berechnen, gilt \( n=6 \) und es muss 6 Lösungen geben, also

\( z_0 = e^{i  \frac {\frac 2 3 \pi } {6}} = e^{i \frac 2 {18} \pi} \)
\( z_1 = e^{i  \frac {\frac 2 3 \pi+ 2\pi} 6 } = e^{i  \frac 8 {18}\pi } \)
usw.

Die Brüche kannst du noch kürzen und du berechnest das ganze bis \( z_5 \). Dann hast du alle Lösungen von \( z^6 \).

Grüße Christian

geantwortet vor 8 Monate
christian strack, verified
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Hallo,

deine Befehle sind richtig. Um im diesem Forum Latex Befehle zu implementieren musst du den Code einklammern mit \( Code \"). 
Das " musst du noch weglassen. Das habe ich nur gemacht, damit Mathjax nicht aktiviert wird.
Ansonsten findest du oben rechts einen Button über den du nochmal eine Beschreibung zum nutzen von Mathjax findest. 

Nun zu deiner Fragen :)

Einmal vorweg wie man \( \Phi \) bestimmt:

\(  \Phi =
\begin{cases}
\text{arctan}( \frac {y} {x} ), & \text{wenn}\ x > 0  \\
\text{arctan}( \frac {y} {x} ) + \pi, & \text{wenn}\ x < 0 , y \geq 0 \\
\text{arctan}( \frac {y} {x} ) - \pi, & \text{wenn}\ x < 0 , y < 0  \\
\frac {\pi } {2}, & \text{wenn}\ x = 0 , y > 0  \\
\frac {- \pi } {2}, &  \text{wenn}\ x = 0 , y < 0
\end{cases} \)

Durch dieses Video von Daniel wird dir vielleicht schon klar wie das zu Stande kommt, ansonsten melde dich nochmal falls  es doch noch unklar ist ( https://www.youtube.com/watch?v=ewFEktQ9h4s ).

Du musst also dein Ergebnis noch \( + \pi \) rechnen und erhälst somit

\( \Phi = \frac 2 3 \pi \)

Aus 

\( \sqrt[n]{z} = z = \sqrt[n]{r \cdot e^{i\Phi} } = \sqrt[n]{r} \cdot \sqrt[n]{e^{i \Phi}} = \sqrt[n]{r} \cdot (e^{i \Phi} )^{\frac 1 n} = r^{\frac 1 n} \cdot (e^{\frac {i \Phi} {n}}) \)

Also vom Radius ziehst du die Wurzel und den Exponenten von e teilst du durch den Wurzelexponenten.

Bei dir heißt das dann:

\( z = \sqrt[6]{z} = \sqrt[6]{e^{i \frac 2 3 \pi}} = e^{i \frac 2 {18} \pi} \)

Grüße Christian 

geantwortet vor 8 Monate
christian strack, verified
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Hallo Christian,

vielen, vielen Dank für die Antwort, sie hat mir sehr geholfen :) Das mit den Latex-Befehlen muss ich echt noch üben. Eine Frage hätte ich noch, in meiner Lösung steht(Ich versuche mich mal wieder mit den Befehlen):

\( z = e^{i\Phi} , \frac{2\Pi}{18} + \frac{k\Pi}{3} )\ für k Element aus { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }

Kannst du dir diese Lösung erklären? In meinem ersten Beitrag habe ich vergessen, zur Aufgabenstellung hinzuzufügen:  Geben Sie alle komplexen Lösungen folgender Gleichung in Polarkoordinatenform \( z = re^(i\Phi )\ an. Ich hoffe du kannst mir noch weiterhelfen, vielen Dank und liebe Grüße :)

geantwortet vor 8 Monate
s
sorbitwiezuckerersatz,
Student, Punkte: 34
 
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