Übergangsmatrizen/Matrixpotenz


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Hey, habe eine Frage zu einer Hausaufgabe zu Übergangsmatrizen...Ich habe eine Anfangsverteilung, also den v0 Vektor gegeben und eine Übergangsmatrix. Bei einer Aufgabe soll ich jetzt die Verteilung nach 12 Jahren mit möglichst wenig Rechenaufwand berechnen. Ich würde dann (Übergangsmatrix) M^12 mal v0 rechnen...Um auf M^12 schnell zu kommen würde ich Potenzgesetze anwenden. Ich würde dann im ersten Schritt M*M =M^2 rechnen. Im zweiten Schritt M^2 * M^2=M^4. Im dritten Schritt dann M^4*M^4 =M^8... Und im vierten Schritt würde ich dann M^4 mal M^8 rechnen,oder M^8 mal M^4....Nur mir stellt sich jetzt die Frage wie rum ich multipliziere, da das Kommutativgesetz bei Matrizen ja nicht gilt... Also M^12 würde ja theoretisch rauskommen wenn ich M^4 *M^8 rechne, oder halt M^8 *M^4...Allerdings würde man halt auf unterschiedliche Ergebnisse kommen, da es ja darauf ankommt wie rum man multipliziert...Wäre gut wenn ihr mir weiterhelfen könntet...Also wie macht man das hier und generell wenn man Übergangsprozesse mit Matrixpotenz berechnen möchte...Vielen Dank

 

gefragt vor 9 Monate
h
hsvcr711,
Schüler, Punkte: 2
 
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1 Antwort
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Hallo,

deine herangehensweise ist korrekt. Wenn du keinen Taschenrechner nutzen darfst, ist es wirklich der schnellste Weg \( M^8 \cdot M^4 \) zu rechnen( zumindest während der Schulzeit ;) )

Das darfst du auch, da die Matrizenmultiplikation assoziativ ist, also es gilt

\( M^{12} = M\cdot M \cdot M \cdot M \cdot M \cdot M \cdot M \cdot M \cdot M\cdot M \cdot M \cdot M \\ \Rightarrow M^{12} = (M\cdot M) \cdot (M \cdot M) \cdot (M \cdot M) \cdot (M \cdot M) \cdot (M\cdot M) \cdot (M \cdot M) \\ \Rightarrow M^{12} = M^2 \cdot M^2 \cdot M^2 \cdot M^2 \cdot M^2 \cdot M^2 \\ \Rightarrow M^{12} = (M^2 \cdot M^2) \cdot (M^2 \cdot M^2) \cdot (M^2 \cdot M^2) \\ \qquad \vdots \\ \Rightarrow M^{12} = M^6 \cdot M^4 \)

Grüße Christian

geantwortet vor 9 Monate
christian strack, verified
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