Zeigen, dass Folge konvergiert


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Hallo zusammen,

ich gehe momentan das Skript durch, und blicke bei einem Beispiel nicht durch. 

Behauptet wird:

Für \( n \in \mathbb{R} \) gilt: \( a_{n} = \sum^{n}_{j=0} \frac{1}{j!} \). Dann konvergiert die Folge.

Der Beweis steht leider nicht dabei, würde mich aber interessieren. Es wird wahrscheinlich über Cauchy-Folgen gezeigt, allerdings komme ich da wegen den Summen nicht sehr weit. 

Vielen Dank für eure tolle Hilfe in diesem Forum!

 

gefragt vor 4 Monate
U
 
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Hallo,

ich gehe dann jetzt mal davon aus, dass ihr keine Konvergenzkriterien für Reihen habt und du daher über Cauchy-Folgen argumentieren möchtest. 

Dann mal los:

Sei \(S_n=\sum\limits_{k=0}^n \dfrac{1}{k!}\).

\(|S_m - S_n| = \sum\limits_{k=n+1}^m \dfrac{1}{k!}\)

\(= \dfrac{1}{n!}\sum\limits_{k=n+1}^m \dfrac{1}{\prod_{j=n+1}^k j}\)

\(\le \dfrac{1}{n!}\sum\limits_{k=n+1}^m \dfrac{1}{\prod_{j=n+1}^k (n+1)}\)

\(= \dfrac{1}{n!}\sum\limits_{k=1}^{m-n} \dfrac{1}{(n+1)^{k}}\)

\(< \dfrac{1}{n!}\sum\limits_{k=1}^{\infty} \dfrac{1}{(n+1)^{k}}\)

\(= \dfrac{1}{n\cdot n!}\)

\(\overset{n \to \infty}{\rightarrow}0\). 

 

Gruß,

Gauß

 

PS: Ich würde es jedoch anders machen. Beachte, dass \(S_n\) monoton ist und wegen \(\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}\leq 2+\sum_{k=2}^n\frac{1}{k(k-1)}=2+\sum_{k=2}^n \frac{1}{k-1}-\sum_{k=2}^n\frac{1}{k}=2+1-\frac{1}{n}\)

ist \(S_n\) nach oben beschränkt. \(\Rightarrow S_n\) konvergiert.

geantwortet vor 4 Monate
carl-friedrich-gauss,
Lehrer/Professor, 1964
 
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