Komplexe Eigenwerte


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Hallo,

zur Zeit bereite ich mich auf die LA Klausur vor und verstehe aber nicht, wie man bei folgender Aufgabe vorgeht. Wenn ich eine 1x1-Matrix betrachte, ist das in meinen Augen doch falsch, oder?

Bei 2x2-Matrizen kann ich mir vorstellen, dass es sich durch das +/- bei der Lösungsformel ergibt. Das lässt sich aber auch nicht verallgemeinern und scheint mir daher nicht korrekt.

Ich habe auch mal versucht, (x+iy) in das allgemeine charakteristische Polynom einzusetzen. Gleichen sich dort Vorzeichen eventuell durch Potenzen aus, sodass am Ende dasselbe herauskommt? An der Stelle habe ich dann den Überblick verloren und wäre über eine Idee sehr erfreut.

Vielen Dank!

 

 

gefragt vor 8 Monate, 3 Wochen
t
tisterfrimster,
Student, Punkte: 163
 
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1 Antwort
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Hallo,

doch diese Aussage stimmt. Eigenwerte sind die Nullstellen des charakteristischen Polynoms. Wenn ein Polynom eine komplexe Nullstelle hat, so ist auch ihr komplex konjugiertes Nullstelle des Polynoms. Das ist zwar kein Beweis aber anschaulich kannst du dir das an der p/q-Formel klar machen. 
\( \lambda_{1/2} = - \frac p 2 \pm \sqrt{\left( \frac p 2 \right)^2 - q } \)
Wenn du nun eine komplexe Nullstelle hast ist die Diskriminante \( \Delta \) negativ und wir können die Formel folgendermaßen umschreiben. 
\( \lambda_{1/2} = - \frac p 2 \pm i \sqrt{\Delta} \)
Mit \( a = - \frac p 2 \) und \( b = \sqrt{\Delta} \) haben wir dann
\( \lambda_{1/2}= a \pm ib \)

Es stimmt auch für 1x1 Matrizen, denn haben wir die 1x1-Matrix \( (a)\), so ist ihr charakteristisches Polynom \( \chi_a(\lambda) = \lambda - a  \). 
Also ist \( a \) selbst einziger Eigenwert. Da aber \( (a) \) eine reelle Matrix ist, ist \( a \) als Eigenwert natürlich auch reell.

Der Beweis deiner Aussage musst du wie gesagt über das charakteristische Polynom beweisen. Da \( z \) Eigenwert ist gilt für das charakteristische Polynom \( \chi(z ) = 0 \).
Da \( 0 = \overline{0} \)
Muss man dann mit der Definition der komplex konjugierten zeigen, das bei einem reellen Polynom \( \overline{\chi(z)} = \chi(\overline{z}) \) gilt

Grüße Christian 

geantwortet vor 8 Monate, 3 Wochen
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 14903
 
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