Laplace-Entwicklung


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Hallo,

ich habe für konkrete Fälle (endliche Matrizen) verstanden, wie die Laplace-Entwicklung funktioniert. Nun ist hier aber der unendliche Fall gewünscht.

Durch Anwendung der Laplace-Entwicklung bei An meine ich herausgefunden zu haben, dass An = -3* det(An-1) ist. Allerdings komme ich beim besten Willen auf nichts, was der gesuchten Formel ähnlich sieht! Ich hoffe, mir kann jemand helfen.

 

gefragt vor 8 Monate, 3 Wochen
t
tisterfrimster,
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3 Antworten
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Hallo,

tut mir leid das es diese mal etwas länger dauert, aber ich bin auch noch nicht auf die genaue Lösung gestossen, aber ich beschreibe schon mal meine Idee:

Du musst um die Gleichheit von \( (-1)^n (n+1) = \sum_{j=1}^n a_{ij} (-1)^{i+j} D_{ij} \) zu zeigen, zuerst einen Ausdruck für die Unterdeterminante finden.

Berechnen wir die Determinante der Matrix \( A_n \) in dem wir nach der ersten Zeile entwickeln, erhalten wir folgendes:

\( det(A_n) = -2 det(A_{n-1}) + \sum_{j=2}^n (-1)^{1+j} D_{1j} \)

Die \( D_{1j} \) sehen ähnlich aus wie die Matrix \( A_n \) mit Ausnahme eines Einsvektors in der ersten Spalte und einen Einsvektor in der j-ten Zeile. Dadurch ist die erste \( -2 \) in der zweiten Spalte und zieht ab da eine Diagonale, die nur durch die Einszeile unterbrochen wird. 

Wenn wir diese \( D_{1j} \) weiter Entwickeln würden, nach der j+1-ten Zeile, erhalten wir nur 2 Unterdeterminanten die nicht Null werden. Die erste (streichen der erste Spalte und j+1-ten Zeile) mit dem Vorfaktor 1 und die Unterdeterminante mit dem Vorfaktor (-2). Diese beiden resultierenden Unterdeterminanten haben wieder die selbe Struktur von \( D_{1j} \), nur das sie die Einsvektoren an anderen Stellen haben. 

Du solltest das ganze vielleicht mal anhand einer \( 5x5 \)-Matrix berechnen um dir das ganze zu visualisieren.

Ich denke das kann man n-mal wiederholen und erhält somit eine Gleichung für die Determinante ohne Unterdeterminanten. Dieser resultierende Term muss dann mit deiner ersten Formel gleichgesetzt werden und mit vollständiger Induktion bewiesen werden.

Ich bin leider gleich erstmal noch unterwegs. Ich werde es mir heute Abend nochmal weiter angucken.

Grüße Christian

geantwortet vor 8 Monate, 3 Wochen
christian strack, verified
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Ich meine jetzt, wie folgt an die Lösung gekommen zu sein:

det(An) = -2 * det(An-1) - det(An-2).

Wenn ich nun die Induktion nach n+1 mit der gesuchten Formel durchführe, kommt auch für n+1 dieselbe Formel heraus. Ich habe dazu

det(An+1) = -2 * det(An) - det(An-1) = -2 * (-1)^n * (n+1) - (-1)^n-1 * n 

gesetzt, wo dann besagte richtige Gleichung für n+1 herauskommt. 

Das sollte doch genügen. 

geantwortet vor 8 Monate, 3 Wochen
t
tisterfrimster,
Student, Punkte: 163
 
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Hallo,

ich sehe jetzt erst das nur die Nebendiagonalen neben der Hauptdiagonalen Einsen tragen. Hab mich anfangs verguckt. Deshalb kam ich am Ende auch auf keinen grünen Zweig. 
Aber der Hinweis war ja anscheinend nicht ganz sinnlos. Ja das genügt und ist richtig.

Grüße Christian

geantwortet vor 8 Monate, 3 Wochen
christian strack, verified
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