Satz von Varignon


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Hallo Community,

kann mir einer von euch eine Antwort darauf geben, warum bei einem allg. Viereck beim Verbinden der Seitenmitten immer ein Parallelogram entsteht. Ich weiß das es der Satz von Varignon ist aber eine Erklärung warum ein Parallelogramm entsteht konnte ich noch finden oder "verstehen". 

Danke schonmal im Voraus.

 

gefragt vor 8 Monate, 3 Wochen
m
moritz132,
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1 Antwort
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Hallo, 

das kann man mit Vektoren gut nachrechnen.

Die Eckpunkte des Vierecks nennen wir \( A,B,C \) und \(D\). Die Mittelpunkte nennen wir \(M_1 , M_2 , M_3 \) und \( M_4\). Dabei ist der Mittelpunkt \( M_1 \) zwischen \( D \) und \( A \) usw.
Daraus ergeben sich die Geradengleichungen.

\( \vec{M_1} = \vec{A} + \frac 1 2 \vec{AD} \\ \vec{M_2} = \vec{A} + \frac 1 2 \vec{AB} \\ \vec{M_3} = \vec{C} + \frac 1 2 \vec{CB} \\ \vec{M_4} = \vec{C} + \frac 1 2 \vec{CD} \)

Nun können wir daraus die Verbindungseraden der Mittelpunkte bestimmen.

\( \vec{M_1M_2} = (\vec{A} + \frac 1 2 \vec{AD} ) - (\vec{A} + \frac 1 2 \vec{AB}) = \frac 1 2 (\vec{AD} - \vec{AB}) = \frac 1 2 \vec{BD} \\ \vec{M_2M_3} = (\vec{A} + \frac 1 2 \vec{AB} ) - (\vec{C} + \frac 1 2 \vec{CB}) = \vec{A} - \vec{C} + \frac 1 2 (\vec{AB} - \vec{CB}) = \vec{AC} + \frac 1 2 \vec{CA} = \frac 1 2 \vec{AC} \\ \vec{M_4M_3} = (\vec{C} + \frac 1 2 \vec{CD} ) - (\vec{C} + \frac 1 2 \vec{CB}) = \frac 1 2 (\vec{CD} - \vec{CB}) = \frac 1 2 \vec{BD} \\ \vec{M_1M_4} = (\vec{A} + \frac 1 2 \vec{AD} ) - (\vec{C} + \frac 1 2 \vec{CD}) = \vec{A} - \vec{C} + \frac 1 2 (\vec{AD} - \vec{CD}) = \vec{AC} + \frac 1 2 \vec{CA} =\frac 1 2 \vec{AC} \)

Man sieht das \( \vec{M_1M_2} \) und \( \vec{M_4M_3} \) gleich sind und \( \vec{M_2M_3} \) und \( \vec{M_1M_4} \) gleich sind.

Grüße Christian

 

geantwortet vor 8 Monate, 3 Wochen
christian strack, verified
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