Konvergenz einer Reihe


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Hey Leute,

in der letzten Übung wurde auf eine Reihe der letzten Klausur hingewiesen, welche sehr schwer war. Und zwar soll man die Konvergenz in Abhängigkeit von x von der Reihe 

\( \sum_{n=1}^{\infty} x^n- \frac{1}{n} \)

untersuchen.

Nach Majorantenkriterium erhalte ich für \( \vert x \vert < 1\)

\( \vert x^n - \frac{1}{n} \vert \le x^n \) und die geometrische Reihe konvergiert ja.

Nach Lösung divergiert die Reihe allerdings für alle x.

Wieso?

Vielen Dank im Voraus!

 

gefragt vor 5 Monate, 3 Wochen
U
Ultor,
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1 Antwort
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Hallo,

tatsächlich gilt deine Abschätzung so nicht, da beispielsweise mit \( x = 0,1 \)

\( \vert 0,1^1 -\frac 1 1 \vert = 0,9 > 0,1 \\ \vert 0,1^2 -\frac 1 2 \vert = 0,49 > 0,01 \ldots \)

Es ist also sogar \( \vert x^n - \frac 1 n \vert  \geq x^n \), für \( x=0,1 \) da \( x^n \) wesentlich schneller fällt, als \( \frac 1 n \).

Grüße Christian

geantwortet vor 5 Monate, 3 Wochen
christianteam, verified
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