Integration durch Substitution


0

Kann ich mir die Rücksubstitution schenken und meine neuen Grenzen einsetzen?
In einer Altklausur ist nämlich genau das gemacht worden. 

 

gefragt vor 6 Monate, 2 Wochen
M
Mafrk701,
Punkte: 0
 
Kommentar schreiben Diese Frage melden
1 Antwort
0

Hallo,

ja, das kannst du machen. Zur Veranschaulichung:

\(I=\displaystyle\int\limits_0^1 x\sqrt{1+x^2}\,dx\). Wir substituieren \(u=1+x^2,\; dx=\dfrac{du}{2x}\)

Somit ergibt sich für die untere Grenze: \(x=0 \Rightarrow u=1+0^2=1\) und für die obere \(x=1 \Rightarrow u=1+1^2=2\)

Folglich haben wir:

\(I=\displaystyle\int\limits_0^1 x\sqrt{1+x^2}\,dx=\int\limits_{u=1}^{u=2} x\sqrt{u}\:\dfrac{du}{2x}=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int\limits_1^2\sqrt{u}\,du=\dfrac{1}{2}\int\limits_1^2u^{1/2}\, du=\dfrac{1}{2}\left [ \dfrac{u^{3/2}}{3/2} \right ]_1^2=\dfrac{1}{3}(\sqrt{8}-1)\approx0.6095\) 

geantwortet vor 6 Monate, 2 Wochen
m
maccheroni_konstante, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 10761
 
Kommentar schreiben Diese Antwort melden