Beweisen durch vollständige Induktion


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Hallo liebe Community :),

Ich habe zwei Aufgaben zur vollständigen Induktion aufbekommen.

Kann mir da bitte jemand helfen? Und kann mir jemand bitte die vollständige Induktion erklären?

1) Man bestimme die Summe Sn=1+2+2^2+2^3+...+2^(n-1) und beweise die Summenformel durch vollständige Induktion. Hinweis: S1=2-1 ; S2=2^2-1 ; S3=2^3-1

2) Sei Sn=1+3+5+...+(2n-1) die Summe der ersten n ungeraden Zahlen. Stellen Sie durch Probieren eine Formel zur Berechnung der Summe Sn auf und beweisen Sie diese durch vollständige Induktion.

Liebe Grüße Jani39 :)

 

gefragt vor 8 Monate, 3 Wochen
j
jani39,
Schüler, Punkte: 0
 

Daniel hat hierzu übrigens ein gutes Video erstellt, das dir zeigt, wie du dir die zweite Summenformel intuitiv herleiten kannst: https://www.youtube.com/watch?v=MD7U_vYaX58

  -   contact@cyber-security.online, kommentiert vor 8 Monate, 2 Wochen
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1 Antwort
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Hallo,

tut mir leid das es diese mal etwas gedauert hat.

Bei der vollständigen Induktion, überprüft man die Gleichung erstmal für einen Startwert ( meist \( 1 \) oder \( 0 \)). Danach leiten wir aus \( A(n) \) einen Ausdruck für \( A(n+1) \) her. 

Wir zeigen also das wenn die Gleichung für eine natürliche Zahl gilt, gilt es auch für jede größere natürliche Zahl.

Für die erste rechne ich es dir einmal vor.

Wir wollen erst einmal eine Formel finden. 

Wir haben die Reihe \( \sum_{n=0}^n 2^n = 2^{n+1} -1 \).

I) Induktionsanfang: \( n=0 \)
\( \Rightarrow 2^0 = 2^{0+1} -1 \\ \Rightarrow 1 = 2-1 = 1 \)

II) Induktionschritt: \( n \to n+1 \)

\( \sum_{n=0}^{n+1} 2^n = 2^{n+2} -1 \\ \Rightarrow \sum_{n=0}^{n} (2^n )+ 2^{n+1} = 2^{n+2}-1 \\ \Rightarrow \sum_{n=0} 2^n = 2^{n+2}-1 - 2^{n+1} = 2^{n+1} (2 - 1 ) -1 = 2^{n+1} -1 \)

Und dies ist unsere Induktionsvorraussetzung. Damit haben wir die Gleichung bewiesen. 

Für die 2) als Hinweis. Die gesuchte Gleichung ist 

\( \sum_{n=0}^n = n^2 \)

Grüße Christian

geantwortet vor 8 Monate, 2 Wochen
christian strack, verified
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