Grenzwert für \( e^x*ln(x)\)


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Hallo zusammen:

Folgende Aufgabe bekomme ich nicht gelöst: Grenzwert mit lim x-> \( {/infty} \)

Für: \( e^x*ln(x) \)

Angeblich soll der Grenzwert dafür "0" sein aber egal was ich anwende (L'Hospital oder Umstellungsversuche) ich komme auf \( {/infty} \). Was mache ich hier falsch?

Vielen Dank für eure Mühen!!

 

 

gefragt vor 8 Monate, 2 Wochen
b
 

Okay ich hab nicht ganz aufgepasst. Also das Ergebnis für \( {/-infty} \) soll =0 sein. Aber auch das verstehe ich nicht, denn laut Wolfram konvergiert die Folge schon bei x->0 gegen \( {/-infty} \).


Für mich auch verständlich weil der Def'bereich für ln(x) ja (0,+inf). Warum sagt Wolfram dann, dass die Folge gegen 0 geht?

  -   benjamin.hasebrink, kommentiert vor 8 Monate, 2 Wochen
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2 Antworten
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Hallo,

\(\lim\limits_{x\to \infty}e^x\ln (x)=\infty \neq 0\).
Für \(x\to -\infty\) hingegen ist er jedoch \(\lim\limits_{x\to -\infty}e^x\ln (x)=0\).

Dein Ansatz mit l'Hospital ist gut. Wir schreiben

\(\lim\limits_{x\to -\infty}\dfrac{\ln (x)}{e^{-x}}\) und leiten danach beide Terme ab. Wir erhalten

\(\lim\limits_{x\to -\infty} \dfrac{1/x}{-e^{-x}}=\lim\limits_{x\to -\infty} -\dfrac{e^x}{x}\). Nach der Quotientenregel bilden wir den Grenzwert sowohl für den Nenner, als auch für den Zähler.

\(\dfrac{\lim\limits_{x\to -\infty}-e^x}{\lim\limits_{x\to -\infty} x}\) wobei für den Nenner gilt \(\lim\limits_{x\to -\infty} x=-\infty\). Also haben wir \(\lim\limits_{x\to -\infty}\dfrac{\lim\limits_{x\to -\infty} -e^x}{-\infty}\).

Jetzt müssen wir noch den Zähler knacken, hierbei können wir das Vorzeichen vor den lim schreiben, sprich \(-\lim\limits_{x\to -\infty}e^x\). Und dann bewegen wir den lim in den Exponenten: \(-e^{\lim\limits_{x\to -\infty}x}\).

Wir erhalten \(\dfrac{-e^{-\infty}}{-\infty}\), wobei \(-e^{-\infty}=0\) entspricht.

Folglich erhalten wir \(\dfrac{0}{-\infty}=0\)

geantwortet vor 8 Monate, 2 Wochen
m
maccheroni_konstante, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 13156
 
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Super vielen Dank maccheroni_konstante!!! Sehr ausführlich und verständlich beschrieben! Danke für die Mühe!

geantwortet vor 8 Monate, 2 Wochen
b
 
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