Binomialverteilung


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Hey,  kann mir jemand bei dieser Aufgabe weiterhelfen? 

Ein Verkehrsunternehmen gibt an, dass 95 % der Fahrgäste zufrieden sind.

a) Wie viele Fahrgäste müssen mindestens befragt werden, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90 % mindestens einer davon unzufrieden ist?

-->  Im Unterricht hatten wir diesen Lösungsansatz,  den ich aber nicht verstehe:

1-p (x=0 )> 90% und 0,1 > 90% 

Wie kommt man drauf und wie kann man weiter rechnen?

b)Wie viele Fahrgäste müssen mindestens befragt werden, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90 % mindestens 2 davon unzufrieden ist?

c) Der Anteil zufriedener Fahrgäste hat sich nach einer Werbeaktion geändert. Die Wahrscheinlichkeit höchstens einen unzufriedenen Fahrgast unter 100 Fahrgästen zu finden , ist auf 50% gestiegen. Wie groß ist der Anteil zufriedener Fahrgäste nun ?

Wie kann man hier vorgehen ..... Danke im Vorraus!!

 

 

gefragt vor 3 Monate, 3 Wochen
s
 
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1 Antwort
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Heyho,

ich geb dir mal eine Anleitung fuer die a). Den rest solltest du dann mit einem aehnlichen Ansatz auch hinbekommen.

Sei X eine Zufallsvariable (Falls du nicht weißt was das ist, halb so wild. Es geht mir hier nur darum alles auber aufzuschreiben), welche die Werte "Fahrgast ist zufrieden" und Fahrgast ist unzufrieden annimmt. Dann gilt laut Aufgabenstellung:

  • \(p(X = \text{Fahrgast zufrieden}) = 0.95\)
  • \(p(X = \text{Fahrgast unzufrieden}) = 0.05\)

Du willst nun herausfinden wie viele Leute gefragt werden muessen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90 % mindestens einer davon unzufrieden ist. Das heißt nichts anderes, als dass entweder ein Fahrgast unzufrieden ist oder zwei, oder drei usw... Das waeren in diesem Fall ganz schoen viele Faelle die man untersuchen muesste. Wie vereinfacht man diesen Sachverhalt nun? Falls dir der Begriff "Gegenereignis" was sagt, dann sollten jetzt die Alarmglocken an gehen, denn was ist in diesem Fall das Gegenereignis? Wenn mindestens einer unzufrieden ist, dann waere das Gegenereignis, das keiner zufrieden ist! (Falls dir das mit dem Gegenereignis noch nicht so ganz geheuer ist, schau dir dazu noch ein paar Beispiele an, und uebe das ausgiebig!)
Die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignis berechnet man wie folgt:

\(p(X= \text{Ereignis}) = 1-p(X= \text{Gegenereignis} )\) 

Nun muessen wir das irgendwie auf unsere Aufgabe uebertragen. Wie hoch ist denn die Wahrscheinlichkeit, dass 90% von sagen wir \(n\) Fahrgaesten zufrieden ist? Das waere doch:

\(p(X= \text{unzufrieden} )^n=0.9\)

und das Gegenereignis, welches wir berechnen wollen:

\(1-p(X= \text{unzufrieden} )^n=0.9\)

Die obige Gleichung kann man nun durch anwenden des natuerlichen Logarithmus \(log\) nach n aufloesen (Die Rechenschritte ueberlasse ich mal dir):

\(\frac{log(1-0.9)}{log(0.95)} = n\)

Wichtig sind hier die Schluesselwoerter Gegenereignis und mindestens.

Ich hoffe das hat dir ein wenig geholfen!

Viele Grueße

Linus

geantwortet vor 3 Monate, 3 Wochen
L
 

Streng genommen hätten wir aber eine Ungleichung ;)

  -   maccheroni_konstante, kommentiert vor 3 Monate, 2 Wochen
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