Modulo - Teilbarkeit durch 4 - Beweis


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Hallo,


Ich lese zur Zeit ein Buch von Kevin Houston ("How to think like a mathematician") zur Vorbereitung für 'ne Klausur.

Im Kapitel 29 gibt er ein Beispiel (29.21). 
In dem Zeigt er, dass eine Ganze Zahl x bestehend aus mindestens zwei Ziffern durch 4 teilbar ist, nur wenn die letzten zwei Ziffern durch 4 teilbar sind.

Dabei gibt er an, dass die Ganze Zahl x folgender maßen zusammen gesetzt ist: 

x = 100a + b , 

wobei b die letzten beiden Ziffern der Zahl x ist.

 

Der direkte beweis geht folgendermaßen (meine Fragen stehen neben den entsprechenden Zeilen): 

\(x mod4 = 100a + b mod4\)

\(x mod4 = (4 \cdot 25) a + b mod4\) ; das begreife ich noch

\(x mod4 = 4 \cdot 25 \cdot a mod4 + b mod4\) ;woher kommt jetzt das mod4 hinter die Faktoren 4, 25 und a?

\(x mod4 = b mod4\) ; und wiso verschwindet jetzt der vordere teil der rechten Seite der Gleichung?

 

gefragt vor 8 Monate, 2 Wochen
b
berkalp,
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2 Antworten
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Ok ich ahne es selbst, 

1.Frage:


weil \(100a = 100a mod4 = 4 \cdot 25 \cdot a mod4\)

2.Frage:

\(\text{und weil } 4 mod4 = 0 mod4 \text{ (was Teilbarkeit einer ganzen Zahl, hier 4, durch 4 ohne Rest)}\)

geantwortet vor 8 Monate, 2 Wochen
b
berkalp,
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Hallo,

die zweite Frage hast du dir richtig beantwortet. \( (4 \cdot 25)a \mod 4 \) verschwindet, da der Rest \( 0 \) ist.
Ich denke die erste Frage resultiert eher aus schlechter Darstellung. 

Es wird wohl so sein

\(x \mod 4 = ( 100a+b) \mod 4 \\ \Rightarrow x \mod 4 = 100a \ mod 4 + b \mod 4 \)

Grüße Christian

geantwortet vor 8 Monate, 2 Wochen
christian strack, verified
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