Untergruppe


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Hi! Könnte mir bitte jmd. sagen, ob ich es richtig habe. Muss ich auch kommutativität zeigen, da es eine Abelsche Gruppe ist? 

bei der assoziativität war ich mir etwas unsicher...

 

gefragt vor 3 Monate, 2 Wochen
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malro10,
Student, 108
 
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Hallo,

wie ich dir schon bei deiner letzten Frage gesagt habe, brauchst du bei der Überprüfung einer Untergruppe keine Assozitivität zeigen. Somit auch keine Kommutativität. 

Die Assoziativität und Kommutativität beziehen sich jeweils auf Verknüpfung. Da wir bereits eine abelsche Obergruppe haben, ist unsere Untergruppe auch automatische abelsch. Insofern es denn eine Untergruppe ist.

Deine Untergruppenkriterien sind 

  1. \( a,b \in U \Rightarrow a \circ b \in U \)
  2. \( a \in U \Rightarrow a^{-1} \in U \)

Das Zweite gilt bereits, da für deine Untergruppe \( x = x^{-1} \) gilt ist natürlich automatisch das Inverse in der Untergruppe.

Nun musst du noch die Abgeschlossenheit zeigen. Überlege dir dafür mal folgendes. Für welche Elemente gilt denn ganz allgemein \( x= x^{-1} \) ? 

Grüße Christian

geantwortet vor 3 Monate, 2 Wochen
christianteam,
Sonstiger Berufsstatus, 11643
 
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Ok, stimmt ist mir dann auch aufgefallen. 

Die Abgeschlossenheit weiß ich nicht wie ich sie zeigen soll. x=x^-1 gilt nur, wenn es für alle anderen Elemente aus der Gruppe gilt oder?

geantwortet vor 3 Monate, 2 Wochen
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malro10,
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Deine Untergruppe \( U \) besteht nur aus Elementen aus \( G \) für die die Einschränkung \( x = x^{-1} \) gilt.

Für welche der Elemente aus \( G \) gilt das denn? Du kannst es sofort angeben. 

Grüße Christian

geantwortet vor 3 Monate, 2 Wochen
christianteam,
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Für x und x^-1

 

geantwortet vor 3 Monate, 2 Wochen
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malro10,
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Ne das meine ich nicht. Es gibt in jeder Gruppe nur ein einziges Element, das gleich ihrem Inversen ist, also \( x = x^{-1} \).

Welches Element ist das?

Grüße Christian

geantwortet vor 3 Monate, 2 Wochen
christianteam,
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Das neutrale Element.

geantwortet vor 3 Monate, 2 Wochen
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malro10,
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Genau. Also besteht \( U \) nur aus dem neutralen Element von \( (G,  * ) \). Was ergibt dann \( e * e \) ?

Grüße Christian

geantwortet vor 3 Monate, 2 Wochen
christianteam,
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Das müsste dann e sein oder?

geantwortet vor 3 Monate, 2 Wochen
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malro10,
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Genau. Und da nur \( e \) in der Gruppe liegt, gilt 

\( e* e = e \in U \)

Und damit ist G auch abgeschlossen bzgl. \( * \)

Grüße Christian

geantwortet vor 3 Monate, 1 Woche
christianteam,
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