Beweis für die Dreiecksungleichung in den Komplexen Zahlen


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Das ist der Satz. Es geht um den (ii)ten Satz und seinen Beweis. 

 

und das ist der beweis, den ich nicht verstehe. Vorallem das komplex konjugierte verwirrt micht. 

Ich verstehe insbesondere nicht wie aus dem Quadrat des Betrages von \( \vert z + w \vert^{2} \),  \( \vert z \vert^{2} + \vert w \vert^{2} + zw_{kk} + z_{kk}w\) (kk=komlex konjugiert), wird. 

 

gefragt vor 3 Monate, 2 Wochen
b
berkalp,
Student, 9
 
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1 Antwort
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Hallo,

das Betragsquadrat einer komplexen Zahl ist wie folgt definiert

\( \vert u \vert ^2 = u \cdot \overline{u} \)

Das Betragsquadrat ist also das Produkt als komplexer und komplex konjugierter Zahl. Wenden wir das auf deine Gleichung an, erhalten wir

\( \vert z + w \vert ^2 = (z+w) \cdot (\overline{z+w}) = (z+w) \cdot (\overline{z} + \overline{w}) = z\overline{z} + z\overline{w} + w\overline{z} + w\overline{w}  = \vert z \vert ^2 + \vert w \vert ^2 + z\overline{w} + \overline{z}w \)

Ist damit der Beweis klar? Ansonsten melde dich nochmal.

Grüße Christian

geantwortet vor 3 Monate, 2 Wochen
christianteam,
Sonstiger Berufsstatus, 11573
 

 


Ok ich verstehe. Ich habe 


\(\vert z + w \vert^{2} = \vert z + w \vert \cdot \vert z + w \vert\)


gedacht. Und so kam ich auf


\( \vert z + w \vert \cdot \vert z + w \vert = (\sqrt{z \overline{z}} + \sqrt{w \overline{w}}) \cdot (\sqrt{z \overline{z}} + \sqrt{w \overline{w}})\)


weil ja \(\vert z \vert = \sqrt{z \overline{z}}\)


und landete bei 


\(\vert z + w \vert \cdot \vert z + w \vert = \sqrt{z \overline{z}}^{2} + 2 \cdot \sqrt{z \overline{z}} \cdot \sqrt{w \overline{w}} + \sqrt{w \overline{w}}^{2}\)


was mich nicht weiterbrachte. 


 


Jetzt hab ich noch eine Frage hierzu.


Wie aus ... + \(z \overline{w} + \overline{z} w \)


... + \( 2 \cdot Re(z \overline{w}) \) wird.


Also um genauer zu sein, wie deduziert werden kann, dass \(z \overline{w}\) dem Realteil entspricht.


 


 

  -   berkalp, kommentiert vor 3 Monate, 2 Wochen

Bei komplexen Zahlen ist durch das \(i \) der Betrag so definiert, da er so den Abstand zum Ursprung wiederspiegelt. 


Zu deiner Frage:


Es wird ausgenutzt, dass


\( \overline{z\overline{w}} = \overline{z} \ \overline{\overline{w}} = \overline{z}w \) 


gilt, und wir dann 


\( z\overline{w} + \overline{z}w = z\overline{w} + \overline{z\overline{w}} \)


haben. Nun ist die Summe einer komplexen Zahl und ihrer komplex konjugierten immer der doppelte Realteil der komplexen Zahl, da


\( z + \overline{z} = (a+ib) + (a-ib) = 2a = 2Re(z) \)


Grüße Christian

  -   christianteam, kommentiert vor 3 Monate, 2 Wochen

Erleuchutng. Vielen Dank :) 

  -   berkalp, kommentiert vor 3 Monate, 1 Woche
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