Differentialgleichungssystem mit Konstante


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Hallo liebe Community / lieber Daniel,

Wie wird bei folgendem Differentialgleichungssystem die Konstante berücksichtigt?

-x' + y' = 2y + 6

3x' - y' = 4y

Ich habe das System schonmal umgestellt, damit es so "aussieht" wie in Videos:

x' = x + 2y + 3

y'= 3x + 2y + 9

Bin über jeden Tipp dankbar, das DGLS oben kam so in einer Altklausur vor.

 

VG Christopher

 

gefragt vor 8 Monate, 1 Woche
c
cmohrig,
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1 Antwort
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Hallo,

du gehst in dem Fall ähnlich vor wie im eindimensionalen Fall. 

Deine Lösung setzt sich hier wieder aus einer homogenen \( y_h \) und einer partikulären \( y_p \) Lösung zusammen

\( y = y_h + y_p \)

Die homogene Gleichung ist dann

\( y_h' = A(x) y_h \)

Die homogene Lösung kannst du wie im Video von Daniel bestimmen. Du bestimmst die Eigenwerte der Koeffizientenmatrix, dann die Eigenvektoren und schließt daraus auf deine homogene Lösung.

 

Wie im 1D Fall betrachten wir unsere Störfunktion \( b(x) = \begin{pmatrix} 3 \\ 9 \end{pmatrix} \). Wir haben einen konstanten Vektor, also ist unsere partikuläre Lösung auch ein konstanter Vektor.
Nun nehmen wir eine partikuläre Lösung \( y_p = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \) und \( y_p' = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \).

Dies kannst du dann in deine inhomogene Differentialgleichung einsetzen und bekommst eine Lösung für \( a \) und \( b \). 

Dies ist dann deine partikuläre Lösung.

Grüße Christian

geantwortet vor 8 Monate, 1 Woche
christian strack, verified
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