Quadratische, komplexe Gleichung lösen


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Hallo zusammen! ich sitze gerade an einer Komplexen Gleichung und komme nicht weiter. Die Gleichung lautet

\((1-i)z^2-(8+2i)z+3+11i=0\) \).

Ich habe die Formel auf

\(z^2-(3+5i)z-4+7i=0\)

umgestellt. Mein nächster Ansatz wäre dann die p/q-Formel, mit der ich dann herausbekomme

\(z_1,z_2 = \frac{3}{2}+\frac{5}{2}i +- sqrt{-\frac{29}{2}i}\)

das ist die Stelle bei der ich nicht weiter komme. Das Ergänzen mit i^2 und binomischer Formel hat mich zu der

\(z_1,z_2 = \frac{3}{2}+\frac{5}{2}i\) +- sqrt{(-\frac{29}{2}i)^2 - \frac{825}{16}} \)

geführt, aber nicht wirklich weitergebracht. Macht es Sinn hier jetzt in polarform weiterzurechnen, oder habe ich irgendwo einen Fehler gemacht?

 

gefragt vor 7 Monate, 1 Woche
h
helge,
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2 Antworten
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Hallo,

ich habe als bei der p/q-Formel folgende Lösung

\( z_{1/2} = \frac 3 2 +\frac 5 2 i \pm \sqrt{ \frac {(3+5i)^2} {4} + 4 - 7i } = \frac 3 2 +\frac 5 2 i \pm \sqrt{ \frac {-16+30i} 4 + \frac {16-28i} 4} = \frac 3 2 +\frac 5 2 i \pm \sqrt{ \frac {2i} 4} = \frac 3 2 +\frac 5 2 i \pm \frac{\sqrt{2i}} 2 \)

Die Wurzel von \( i \) ist

\( \sqrt{i} = \frac 1 {\sqrt{2}} + \frac 1 {\sqrt{2}} i \)

multiplizerierst du das mit \( \sqrt{2} \) erhalten wir

\( z_{1/2} = \frac 3 2 +\frac 5 2 i \pm ( 1 + i ) \)

Die Lösung für Wurzel von \( i \) kann über die Eulerform berechnet werden.

Grüße Christian

geantwortet vor 7 Monate, 1 Woche
christian strack, verified
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Hallo Christian, vielen Dank für deinen Lösungsansatz! Ich weiß jetzt zumindest dass ich bei meinen Berechnungen mit den Vorzeichen durcheinander gekommen bin (habe bei (p/2)^2 das minus nur zu der 3 gezählt und bin deshalb bei -30/4i gelandet.

 

geantwortet vor 7 Monate, 1 Woche
h
helge,
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