Eigenvektor bestimmen - Nullzeile im LGS


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Hallo allerseits,

Ich rechne gerade Probeklausuren und habe ein Problem, welches öfter auftritt, wenn ich Eigenvektoren bestimmen soll.

Ich soll die Eigenwerte und die zugehörigen Eigenvektoren der folgenden Matrix berechnen.

Für die Eigenwerte habe ich 1 und -1 berechnet.

Als Menge der Eigenvektoren für den EW -1 habe ich Lambda * (0,1,0).

Aber wenn ich für Lambda 1 in die Hauptdiagonale einsetze, komme ich auf ein LGS mit einer Nullzeile und habe keine Ahnung wie ich dieses lösen soll.

Ich habe auch sicherheitshalber einen Online-Rechner für Eigenvektoren ausprobiert und dieser sagt mir, dass meine Eigenwerte richtig sind und man für den EW 1 (2,3,4) als Eigenvektor bekommen sollte.

Aber ich verstehe nicht wie man auf diese Lösung kommt...

Kann mir da jemand helfen?

Vielen Dank im Voraus.

gefragt vor 2 Monate, 1 Woche
t
 
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Hallo,

Eigenvektoren müssen folgende Gleichung erfüllen.

\( (A- \lambda_i I) \cdot \vec{v} = 0 \) mit \( I \) der Einheitsmatrix.

Du erhälst also folgende Gleichung für den Eigenvektor zum Eigenwert \( \lambda = 1 \)

\( \begin{pmatrix} -2 & 0 & 1 \\1 & -2 &1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \vec{v} = 0 \\ \Rightarrow \begin{pmatrix} -2 & 0 & 1 & \vert & 0 \\1 & -2 &1 & \vert & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \vert & 0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -2 & 0 & 1 & \vert & 0 \\3 & -2 & 0 & \vert & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \vert & 0 \end{pmatrix} \)

Mindestens eine Nullzeile bekommst du immer, da jedes Vielfache eines Eigenvektors auch Eigenvektor ist. Für jeden weiteren Eigenvektor pro Eigenwert bekommst du auch eine weitere Nullzeile.

Wir wählen also \( x = t \) und erhalten dann die Gleichung \( 3t -2y = 0 \Rightarrow y = \frac 3 2 t \) und letztlich \( -2t + z = 0 \Rightarrow z = 2t \).

Unser Eigenvektor ist dann \( \begin{pmatrix} t \\ \frac 3 2 t \\ 2 \end{pmatrix} \). Nun kannst du für \( t \) einen beliebigen Wert wählen und erhälst einen Eigenvektor. 

Grüße Christian

 

geantwortet vor 2 Monate, 1 Woche
christianteam,
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