Stammfunktion von x*cos (x^2) bilden


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Guten Abend, 

Es geht um Daniels letztes Video der playlist Differentialgleichungen, Trennung der Variablen. 

Ich komme leider nicht auf das Ergebnis 1/2 sin(x^2)+c.

Wie ist der Rechenweg?

Vielen, vielen lieben Dank,

Sarah

 

gefragt vor 8 Monate
s
sarahwiwi,
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3 Antworten
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Hallo,

\(\displaystyle\int(x\cos(x^2))\,dx \rightarrow u=x^2,\, du=2x\,dx \\
\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\displaystyle\int \cos(u)\, du \\
\Leftrightarrow  \dfrac{1}{2} \sin(u) +C =\dfrac{\sin(u)}{2} +C \\
\Leftrightarrow \dfrac{\sin(x^2)}{2} +C\)

geantwortet vor 8 Monate
m
maccheroni_konstante, verified
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Danke schön, das hatte ich auch in den Integralrechner eingegeben und so rausbekommen. 


Aber handelt es sich hier nicht um eine mehrfache partielle Integration mit der Produktregel? Weil das x einfach so wegfällt? 

  -   sarahwiwi, kommentiert vor 8 Monate

Also, \(du = 2x dx\), lösen wir nach dx auf, erhalten wir \(dx=\dfrac{du}{2}=\dfrac{1}{2}du\)  (konstanten Vorfaktor vor das Integral ziehen) und \(x^2=u\).

  -   maccheroni_konstante, verified kommentiert vor 8 Monate
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Guten Morgen, 

Vielen Dank, da wird es ein wenig klarer.

Und du=2x dx, weil 2x die ableitung von x^2 ist?

Und was ist mit dem x vor dem cos(x^2) in der Aufgabenstellung? Fällt das durch mehrfach partielle Integration weg? 

geantwortet vor 8 Monate
s
sarahwiwi,
Student, Punkte: 107
 
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Okay habe mir noch einmal das Video integration durch Substitution von Daniel angeschaut, ist jetzt klar. 

Vielen Dank:) 

geantwortet vor 8 Monate
s
sarahwiwi,
Student, Punkte: 107
 

Alles klar.

  -   maccheroni_konstante, verified kommentiert vor 8 Monate
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