Konvergenzkriterien


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Wenn es nach dem Wurzel Bzw Quotientenkriterium konvergiert , kann man. Bzw muss man dann. Immer schreiben dass es absolut konvergiert ? Und beim Leibnizkriterium immer nur „konvergiert“ .

 

gefragt vor 7 Monate, 4 Wochen
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alig.98,
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2 Antworten
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Hallo,

das Leibnitz-Kriterium kann nur Auskunft über "normale" Konvergenz geben. Die Reihen können trotzdem noch absolut konvergieren, müssen sie aber nicht. Ein Beispiel dafür wäre die alternierende harmonische Reihe

\( \sum_{n=1}^{\infty} \frac {(-1)^{n+1}} n = \ln 2 \)

Die normale alternierende Reihe divergiert allerdings, also konvergiert die alternierende harmonische Reihe, allerdings nicht absolut.

Die Reihe 

\( \sum_{n=1}^{\infty} \frac {(-1)^{n+1}} {n^2}  \)

konvergiert allerdings absolut. 

Das Wurzel und Quotientenkriterium geben direkt Auskunft über absolute Konvergenz. Die Kriterien werden aus dem Majorantenkriterium hergeleitet und implizieren deshalb dann absolute Konvergenz.

Absolute Konvergenz ist ein stärkerer Konvergenzbegriff und impliziert sofort "normale" Konvergenz. 

Deshalb solltest du bei Erfüllung des Wurzel oder Quotientenkriteriums auch von absoluter Konvergenz sprechen und beim Leibnitz-Kriterium solltest du nur von Konvergenz sprechen.

Grüße Christian

geantwortet vor 7 Monate, 4 Wochen
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 14793
 
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Danke dir , hat mich weitergebracht ! :)

geantwortet vor 7 Monate, 4 Wochen
a
alig.98,
Student, Punkte: 28
 

Das freut mich zu hören.


Grüße Christian

  -   christian strack, verified kommentiert vor 7 Monate, 4 Wochen
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