Rekursion durch Matrix darstellen


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Meine Frage bewegt sich in der Linearen Algebra :

Gegeben ist eine Folge \(x_{n}\) mit einer Rekursionsgleichung

\(x_{n} = 3x_{n-2} - 2x_{n-1}\) für n > 2

und Startwerte \(x_{1}\) = 1, \(x_{2}\) = 0

 

Die Frage ist nach einer expliziten Formel. Wie sieht ein einfacher Weg aus? Wie kann ich eine Matrix finden, die diese Rekursion explizit darstellt?

Edit: Für die Aufgabe sind 12min vorgesehen.

Ausprobieren liefert mir \(x_{3}=3,x_{4}=-6\)

Danke im Voraus, LG Tobi

 

gefragt vor 4 Monate, 4 Wochen
m
mathetobi,
Student, Punkte: 0
 
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1 Antwort
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Hallo,

du hast einen Startvektor \( \begin{pmatrix} x_2 \\ x_1 \end{pmatrix} \) und wollen durch eine Matrixmultiplikation, den Vektor \( \begin{pmatrix} x_3 \\ x_2 \end{pmatrix} \) erzeugen. 

Unsere Abbildungsmatrix ist also eine \( 2 \times 2 \)-Matrix. 

\( \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_2 \\ x_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_3 \\ x_2 \end{pmatrix} \)

Daraus kannst du dir ein LGS basteln.

Grüße Christian

Edit: Man kann auch, wenn man als Lösung nur \( x_n \) erhalten will eine \( 1 \times 2 \)-Matrix nehmen.

\( \begin{pmatrix} a & b  \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_3  \end{pmatrix} \) 

geantwortet vor 4 Monate, 3 Wochen
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 13383
 
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