Logistisches Wachstum


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Guten Abend

Ich hätte heute noch eine zweite Frage, bei der ich nicht weiss wie man da am besten vorgeht:

Ich habe versucht die Funktion zweimal abzuleiten um dann nach p0 aufzulösen, aber ersten ist das super aufwendig und es wird nicht für alle Lösungen gezeigt werden.

Kann mir da jemand weiterhelfen. Ich weiss wie das logistische Wachstum aussieht und weiss auch die Voraussetzungen für Wendepunkte.

 

Grüße

Wizz

 

gefragt vor 7 Monate
w
wizzlah,
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3 Antworten
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Hallo,

die zweite Ableitung ist

\( p''(t) = - \frac {(\frac {p_{\infty}} {p_0} - 1) \lambda^2 p_{\infty} e^{\lambda t}(e^{\lambda t } - \frac {p_{\infty} } {p_0} +1) } {(e^{\lambda t} + \frac {p_{\infty}} {p_0} -1)^3} \)

Daraus ergibt sich, dass \( p''(t) = 0 \) nur gelten kann, wenn \( e^{\lambda t} - \frac {p_{\infty}} {p_0} +1 = 0 \) gilt.

Lösen wir das ganze nach \( t \) auf, so erhalten wir 

\( t = \frac {\ln(\frac {p_{\infty}} {p_0} -1)} {\lambda} \)

Durch den Definitionsberech des Logartihmus, erhalten wir folgende Ungleichung

\( \frac {p_{\infty}} {p_0} -1 > 0 \\ \Rightarrow p_{\infty} > p_0 \)

Ich komme leider nicht auf deine Ungleichung, aber ich denke das es dieser Weg sein soll.

Ich werde es nochmal durch gehen und gucken wo der Fehler liegt, aber mit der Struktur kannst du ja auch schon mal überlegen, ob du meinen Denkfehler findest.

Grüße Christian

geantwortet vor 7 Monate
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 14508
 

Ah ich habe meinen "Fehler" gefunden.


Es gilt \( t \geq 0 \). 


Da wir in \( t=0 \) starten, muss für unseren Wendepunkt gelten


\( t_W > 0 \)


Damit erhalten wir die Gleichung


\( \ln( \frac {p_{\infty}} {p_0} -1 ) > 0 \), da \( \lambda > 0 \)


Der Logarithmus hat seine Nullstelle bei \( t=1 \), also erhalten wir insgesamt 


\( \frac {p_{\infty}} {p_0} -1 > 1 \Rightarrow \frac {p_{\infty}} {p_0} > 2 \\ \Rightarrow \frac {p_{\infty}} 2 > p_0 \)

  -   christian strack, verified kommentiert vor 7 Monate
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Hallo Christian

Vielen Dank mir ist grundsätzlich alles klar nur hat es halt wegen der Ableitung bei mir riesen Probleme verursacht.

Wizz

geantwortet vor 7 Monate
w
wizzlah,
Student, Punkte: 196
 
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Ja ist leider doch sehr unübersichtlich das Ganze. Wenn du \( a = \frac {p_{\infty}} {p_0} -1 \) setzt, wird es wenigstens etwas übersichtlicher. Ansonsten hilft da leider nur viel Übung.

Grüße Christian

geantwortet vor 6 Monate, 4 Wochen
christian strack, verified
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