Übungsaufgabe Volumenberechnung Zylinderkoordinaten


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Folgende Übungsaufgabe macht mir Probleme: 

Mein Ansatz war die beiden Zylinder zu berechnen und voneinander zu subtrahieren. Leider ist mir nun Aufgefallen das eine Ebene als z dargestellt wird und (i. d. Regel) nicht nur x beinhaltet(Zeile 3). Meint ihr es handelt sich um einen Fehler oder verstehe ich etwas falsch?  

 

gefragt vor 8 Monate, 3 Wochen
j
 
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3 Antworten
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Hallo,


ich denke nicht das hier ein Fehler vorliegt. Hier geht es darum die Grenzen von \( r , \varphi \) und \( z \) zu bestimmen. 


Die Grenzen von r sind offensichtlich \( R_1 = 1 \) und \( R_2 = 4 \).


Die Grenzen von \( \varphi \) sind nicht direkt ersichtlich. Bringen wir das ganze erstmal in Zylinderkoordinaten. Es gilt


\( x = r \cos(\varphi) \\ y = r \sin(\varphi) \\ x^2 + y^2 = r^2\)


Also erhalten wir 


\( y = \frac 1 {\sqrt{3}} x \\ \Rightarrow  r \sin(\varphi) = \frac 1 {\sqrt{3}}  r \cos(\varphi) \\ \frac {\sin(\varphi)} {\cos(\varphi)} = \tan(\varphi) = \frac 1 {\sqrt{3}} \\ \Rightarrow \varphi = \frac {\pi} 6 \)


Das selbe kanst du auch mit der anderen Information für \( y \) machen. 


Nun benötigen wir nur noch unsere Grenzen für \( z \). Die erste ist \( z=0 \), da wir uns nur oberhalb der x-y-Ebene befinden und wird von oben durch die Ebene \( z= \frac {x+y} {x^2+y^2} \) begrenzt. Also erhalten wir aus dieser Information unsere obere Integrationsgrenze für \( z \).


Transformiere auch diese Ebene mal mit den genannten Substitutionen. 


Danach musst du nur noch über das Volumenelement der Zylinderkoordinaten integrierien 


\( dV = r dr d\varphi dz \)


Grüße Christian

geantwortet vor 8 Monate, 3 Wochen
christian strack, verified
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Danke super hilfreich, aber eine Frage ist noch ungeklärt. Die Reihenfolge der Integrationen ist dr d(phi) dz. In der Lösung ist sie einmal umgekehrt, sodass am äußeren Integral konstante Grenzen stehen (was für die numerische Lösung erforderlich ist). Soweit ich weiß darf man das nur bei konstanten Grenzen, richtig? Die Grenzen für dz sind ja nicht konstant, sie hängen von phi und r ab. Wieso ist dieser Vorgang erlaubt?


 


edit: Habe nun herausgefunden dass man die Grenzen neu berechnen kann um die Reihenfolge zu ändern. Sehe ich auch irgendwie an der Gleichung das sich die Grenzen nicht ändern, wie es hier der Fall ist? Die Berechnung scheint mir bei dreifachintegralen zu zeitintensiv um das in der Klausur für ein paar Punkte extra zu machen (großteil gibt es auf das Aufstellen der Gleichung bzw. Berechnung der Grenzen soweit ich weiß).

geantwortet vor 8 Monate, 2 Wochen
j
 
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Das kommt etwas darauf an was ihr bereits hattet.


Habt ihr schon über den Satz von Fubini oder den Satz von Tonelli gesprochen?


Grüße Christian

geantwortet vor 8 Monate, 2 Wochen
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 16358
 
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