Differentialgleichung, partikuläre Lösung


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Hallo, Ich bin gerade an der Klausurvorbereitung und habe folgendes Problem:

Das lösen von homogenen DGLs 1. Ordnung durch Trennung der Variablen verstehe ich. Allerdings kann ich nur sehr schwer nachvollziehen, wie sich partikuläre Lösungen für Störglieder finden lassen. Im Papula gibt es sehr schöne Tabellen, doch die Anwendung fällt mir schwer.

Was mache ich wenn ich z.B. cot(x) als Störfunktion habe, muss ich dann nach \(\frac{cos(x)}{sin(x)}\) umformen?

Handelt es sich hierbei um eine spezielle Störfunktion mit einem bestimmten Lösungsansatz?

Wie ist grundsätzlich die Vorgehensweise einen Lösungsansatz für Störfunktionen zu finden?

 

Danke im Vorraus,

Jede Antwort ist mir eine Hilfe.

 

gefragt vor 7 Monate, 3 Wochen
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lui,
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5 Antworten
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Hallo,

prinzipiell sind Störfunktionen der selben Art wie die partikuläre Lösung. 

Hast du ein Polynom als Störfunktion, so ist der Ansatz der partikuläre Lösung auch ein Polynom selben Grades. Hast du eine Exponentialfunktion als Störfunktion, so ist dein Ansatz auch eine Exponentialfunktion usw.

Ich muss gerade ehrlich sagen ich wüsste gar nicht genau wie es bei cot(x) aussieht. Finde gerade leider auch nichts dazu. Werde morgen nochmal etwas recherchieren. 
Hast du vielleicht eine Beispielaufgabe?

Grüße Christian

geantwortet vor 7 Monate, 3 Wochen
christian strack, verified
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Die Aufgabe lautet:

Lösen Sie die  folgende Differentialgleichung: \(y'=-(y+1)*\cot(x)\), Anfangswert: \(y_{(\pi/2)}=0\)

Hinweis: \(\int\frac{dy}{y+1}=ln\vert{y+1}\vert\); \(\int\cot xdx=ln\vert\sin x\vert\)

 

Mein Lösungsansatz war die Klammer ausmultiplizieren mit \(\cot x\), wobei sich ergibt:

\(y'=-y*\cot x-\cot x\), bzw. \(y'+y\cot x=-\cot x\).

Dann wäre \(-\cot x\) die Störfunktion.

 

Meine Überlegung war den Kotangens umzuformen nach \(\cot x=\frac {\cos x} {\sin x}\)

Die beiden Winkelfunktionen müssten sich dann mithilfe eines Lösungsansatzes zu einer partikulären Lösung formen lassen. Ich habe den Lösungsansatz \(y_{p}=A*\sin x+B*\cos x\) gefunden. Den könnte man dann anwenden oder?

 

Es würde dann folgendermaßen aussehen:

\(y_{p}=-\frac{A_{1}*\sin x+B_{1}*\cos x}{A_{2}*\sin x+B_{2}*\cos x}\)

 

Ich habe die Lösung der Aufgabe, jedoch ohne Lösungsweg.

Die allgemeine Lösung ist \(y=\frac{C}{\sin x}-1\)

geantwortet vor 7 Monate, 3 Wochen
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lui,
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Ich glaube ich hab die Lösung selbst gefunden.

Wenn ich nach dem Schema was ich oben beschrieben hab vorgehe habe ich ja die partikuläre Lösung \(y_{p}=-\frac{A_{1}*\sin x+B_{1}*\cos x}{A_{2}*\sin x+B_{2}*\cos x}\)

Angenommen die Stellparameter \(A_{1}=A_{2}\), und \(B_{1}=B_{2}\), dann kürzt sich der Bruch zu \(y_{p}=-1\)

Daraus ergibt sich die Lösung, da durch Trennung der Variablen \(y_{h}=\frac{C}{\sin x}\) entsteht.

Ist das soweit korrekt?

geantwortet vor 7 Monate, 3 Wochen
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lui,
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Hier musst du gar nicht gesondert auf die Störfunktion eingehen. Es gilt

\( y' =-(y+1) \cdot \cot(x) \\ \Rightarrow \frac {dy} {dx} = -(y+1) \cdot \cot(x) \\ \Rightarrow \frac {dy} {y+1} = - \cot(x) dx \\ \Rightarrow \ln\vert y+1 \vert = - \ln\vert \sin(x) \vert +C \\ \Rightarrow y+1 = e^{-\ln \vert \sin(x) \vert + C} = e^{\ln \vert \sin(x) \vert^{-1}} \cdot e^C = \frac C {\sin(x)} \)

Im letzten Schritt, habe ich \( e^C \) als eine neue Konstante aufgefasst. Stellen wir das nach \( y \) um, erhalten wir die Lösung.

\( y = \frac C {\sin(x)} -1 \)

Prinzipiell solltest du aber Recht haben. Da \( \cot(x) = \frac {\cos(x)}{\sin(x)} \) gilt, sollte dein Ansatz der richtige sein. Bedenke aber immer vorher ob du überhaupt die Störfunktion einzelnd betrachten musst. 
Für die Trennung der Variablen, reicht es das deine DGL die Form 

\( y' = f(y) \cdot g(x) \)

hat. Bei uns ist dann \( f(y) = y+1 \)

Grüße Christian

geantwortet vor 7 Monate, 3 Wochen
christian strack, verified
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Ich habe mir im Prinzip eine Störfunktion durch das Ausmultiplizieren geschaffen, wo eigentlich gar keine ist.

Danke für die schnelle Antwort.

MfG,

 

Lui

geantwortet vor 7 Monate, 3 Wochen
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lui,
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Genau :) 


Grüße Christian

  -   christian strack, verified kommentiert vor 7 Monate, 3 Wochen
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