Differentialgleichung mittels Substitution


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Hallo,

Ich hätte nochmal eine Frage zu einer Übungsaufgabe. Es geht um das Thema Substitution.

Gelöst werden soll folgende Differentialgleichung: \(2xyy'-x^{2}=y^{2}\)

Laut Lösung ist die geeignete Substitution \(u=\frac{y}{x}\)

Daraus ergibt sich dann \(2xuu'=1-u^{2}\)

Ich kann diese Substitution aber nicht nachvollziehen.

Kann mir jemand Schritt für Schritt erklären, wie man auf die neue DGL kommt?

 

Danach kommt wie gewohnt die Integration durch Trennung der Variablen oder?

 

Danke im Voraus,

 

MfG,

Lui

 

gefragt vor 7 Monate, 3 Wochen
l
lui,
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1 Antwort
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Hallo,

\( 2xyy'-x^2=y^2 \ \vert +x^2  \\ \Rightarrow 2xyy' = x^2 + y^2 \ \vert :x^2 \\ \Rightarrow \frac {2yy'} x = 1 + \frac {y^2} {x^2} \\ \Rightarrow 2 \frac {y} x y' = 1 + \frac {y^2} {x^2} \ \vert \frac y x = u \\2uy' = 1+u^2 \)

Nun müssen wir noch \( y' \) bestimmen. 

\( u = \frac y x \\ \Rightarrow y = u \cdot x \\ \Rightarrow y' = u' \cdot x + u \cdot 1 = u'x+u \)

Ich habe hier die Produktregel genutzt, da \( u(x) \) von \( x \) abhängt.

Eingesetzt ergibt das 

\( 2u(u'x+u) = 1+u^2 \\ \Rightarrow 2uu'x+2u^2 = 1+u^2 \ \vert -2u^2 \\ \Rightarrow 2uu'x = 1-u^2 \)

Jap diese Differentialgleichung löst du nun am einfachsten durch Trennung der Variablen.

Grüße Christian

geantwortet vor 7 Monate, 3 Wochen
christian strack, verified
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