Ebene, Gerade, Vektoren kürzen


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Unser Lehrer hat heute gesagt, dass wir morgen bei der Klausur geschickt arbeiten sollen also zB Vektoren kürzen. Wie läuft das bei Ebenen genau ab? Also wenn ich zB eine Ebenengleichung habe und ich kürzen kann, muss ich das bei der Ebene dann mit allen drei Vektoren machen oder kann ich auch nur einen Vektor kürzen? 

 

gefragt vor 2 Monate, 2 Wochen
d
dilemx,
Schüler, 60
 
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1 Antwort
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Hallo,

das ist eine sehr allgemeine Aussage seitens deines Lehrers. Hast du z.B. eine Ebene in Parameterform gegegen, so kannst du jeweils die Richtungsvektoren durch ihren entsprechenden ggT kürzen. Der Ortsvektor darf nicht gekürzt werden.

Stellt du eine Ebene in Koordinatenform auf, so erhältst du den Normalenvektor durch Anwenden des Vektorproduks auf die zwei Richtungsvektoren. Wenn du diese kürzt, erhältst du auch einen gekürzten Normalenvektor. Allerdings ändert sich dann auch für die Ebene \(E: ax_1+bx_2+cx_3=d\) der Wert der Zahl d. 

Sprich: \(E_1: 4x_1+8x_2+12x_3=18\) und \(E_2:x_1+2x_2+3x_3=18\) (Normalenvektor durch 4 dividiert) sind nicht das gleiche.

geantwortet vor 2 Monate, 2 Wochen
m
maccheroni_konstante,
Sonstiger Berufsstatus, 6246
 

Darf ich auch nur einen Richtungsvektor kürzen wenn ich nur diesen einen Vektor kürzen kann?

  -   dilemx, kommentiert vor 2 Monate, 2 Wochen

Wenn du nur einen RV hast, z.B. bei einer Geraden, ja.

  -   maccheroni_konstante, kommentiert vor 2 Monate, 2 Wochen

Ahh also bei einer Ebene müsste ich dann schon beide mit dem jeweiligen ggT kürzen, richtig? 

  -   dilemx, kommentiert vor 2 Monate, 2 Wochen

 


Sorry, da habe ich mich vielleicht etwas umständlich ausgedrückt. 


Du kannst auch nur einen RV (Fall Ebene) kürzen, da du ja jeweils einen Parameter vor dem RV hast und du für diesen beliebige Zahlenwerte einsetzen kannst. Somit kommst du "früher oder später" wieder auf den Ursprungswert. Z.B.


\(E_1:\vec{x}=\begin{pmatrix}22\\ -3\\ 0\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}16\\64\\ 0\end{pmatrix}+\mu \begin{pmatrix}0\\ 0\\ 22\end{pmatrix} \) ist identisch mit \(E_2: \vec{x}=\begin{pmatrix}22\\ -3\\ 0\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}1\\ 4\\ 0\end{pmatrix}+\mu \begin{pmatrix}0\\ 0\\ 1\end{pmatrix}\) ist identisch mit \(E_3:\vec{x}=\begin{pmatrix}22\\ -3\\ 0\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}16\\ 64\\ 0\end{pmatrix}+\mu \begin{pmatrix}0\\ 0\\ 1\end{pmatrix}\)


 

  -   maccheroni_konstante, kommentiert vor 2 Monate, 2 Wochen

Achso okay, danke dir! 

  -   dilemx, kommentiert vor 2 Monate, 2 Wochen
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