Kugel und Ebene


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Erstens wie leitet man eine Kugel Formel mit einem Mittelpunkt und einer Geraden.

Wie berechnet man den Schnittkreis und den Abstand von der Ebene bis zum Mittelpunkt des Kreises/Kugel?

 

Mein Lehrer beantwortet mir diese Fragen nie eindeutig, ich hoffe einer von euch kann mir helfen:D

 

gefragt vor 7 Monate, 2 Wochen
B
BewarSalim,
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Hallo,

"wie leitet man eine Kugel Formel mit einem Mittelpunkt und einer Geraden."

Durch die Herleitung mit einer Geraden kann ich mir nichts eindeutiges vorstellen. 


"Wie berechnet man den Schnittkreis und den Abstand von der Ebene bis zum Mittelpunkt des Kreises/Kugel?"

Sei \(\varepsilon\) eine Ebene in Koordinatenform, sprich \(\varepsilon: n_1x+n_2y+n_3z-d=0\) und der M der Kugelmittelpunkt (\(M(m_1|m_2|m_3)\)) einer Kugel mit dem Radius \(r\).

Der Abstand lässt sich mit der Formel \(d(E;M)=\dfrac{|n_1m_1+n_2m_2+n_3m_3-d|}{|\vec{n}|}\) berechnen.

Wenn nun ein Schnittkreis vorliegen soll, muss logischerweise \(d(E;M) < r\) gelten.

Für den Schnittkreis brauchen wir zum einen den Radius \(r'\) und zum anderen den Mittelpunkt \(M'\).

Mittelpunkt berechnen:

Wir stellen eine Lotgerade \(g\) auf, die durch den Punkt M geht und normal auf der Ebene \(E\) steht. 

\(g:\vec{x}=\overrightarrow{OM}+\lambda \vec{n}\)

Diese setzen wir komponentenweise in die Ebene ein, um den Schnittpunkt von \(g\) und \(E\) zu bestimmen.

\(E \cap g: n_1\cdot(m_1+\lambda n_1)+n_2\cdot(m_2+\lambda n_2)+n_3\cdot(m_3+\lambda n_3)-d=0\)

Wir erhalten für den Parameter \(\lambda\) einen Wert, den wir in die Geradengleichung einsetzen. Der resultierende Vektor ist der Ortsvektor des Mittelpunkts \(M'\).

Für den Radius \(r'\) wenden wir den Satz des Pythagoras an. Es gilt:

\(r^2=r'^2+d^2\), mit \(d:=d(M';M)\).

Umgestellt erhalten wir: \(r'=\sqrt{r^2-d^2}\)

geantwortet vor 7 Monate, 2 Wochen
m
maccheroni_konstante, verified
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Vielen Dank 

  -   BewarSalim, kommentiert vor 7 Monate, 2 Wochen
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