Linearfaktorzerlegung von Polynomen


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Guten Abend

Wenn ich beispielsweise die Nullstellen vom Polynom

x^{5} - 3x^{4} + 2x^{3} -x^{2} + 3x - 2 suche.

Komme ich daran vorbei eine Nullstelle zu erraten oder Polynomdivision zu machen. Oder kann ich es auch ohne zu raten in seine Linearfaktoren zerlegen?

 

Vielen Dank

Christian

 

gefragt vor 5 Monate, 1 Woche
c
chrugi,
Student, Punkte: 38
 
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2 Antworten
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Hallo,

wenn du um deine Gleichung rechts davon ein \) und links davon ein \( setzt, wird Mathjax aktiviert und du erhälst

\( x^5 -3x^4 + 2x^3 - x^2 +3x -2 \)

Wie ikeek bereits sagt musst du hier eine Nullstelle raten. Jedoch kann man schnell geeignete Kandidaten finden.

Für jede rationale \( ( \frac a b \in \mathbb{Q} )\) Nullstelle der Polynomfunktion 

\( \sum_{k=0}^{n} a_k x^k \)

gilt \( ggT(a,b)=1 \) und \( \vert a \vert \) ist Teiler von \( \vert a_0 \vert \) und \( \vert b \vert \) ist Teiler von \( \vert a_n \vert \)

Da du hier ein normiertes Polynom hast \( ( a_n = 1 ) \), muss \( b = 1 \) gelten und somit muss \( \vert a \vert \) ein Teiler von \( \vert a_0 \vert = \vert -2 \vert = 2 \) sein. 

Es kommen somit als mögliche Kandidaten \( -2,-1,0,1,2 \) in Frage.

Durch hinschauen kannst du auch sehen, dass hier nur die Koeffizienten der \( x \) mit geraden Exponenten negativ sind. Da diese negativ bleiben egal was wir einsetzen und die anderen das Vorzeichen wechseln, wenn wir eine negative Zahl einsetzen, würde ich die negativen nicht ausprobieren, sondern mit \( 1 \) und \( 2 \) anfangen ( bei der Null sieht man ja sofort, ob sie Nullstelle ist oder nicht).

Diese beiden Kandidaten sind hier auch beides Nullstellen deines Polynoms (dies muss natürlich erst durch einsetzen überprüft werden).

Grüße Christian

geantwortet vor 5 Monate, 1 Woche
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 14033
 

Hallo Christian


Vielen Dank.


Muss mir das ganze noch in Ruhe durch den Kopf gehen lassen :)


Gruss Christian

  -   chrugi, kommentiert vor 5 Monate, 1 Woche

Da dies nicht allen bekannt ist und in Klausuren häufig mit ganzen Zahlen als Nullstellen gerechnet wird, kannst du dir auch merken, dass das letzt Glied des Polynoms durch den Betrag der Nullstelle teilbar sein muss. 


Grüße Christian

  -   christian strack, verified kommentiert vor 5 Monate, 1 Woche
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Es gibt numerische oder auch graphische Verfahren für Nullstellen von Polynomen höheren Grades. Teilweise gibt es auch Lösungsformeln wie die pq Formeln für Polynome höheren Grades. Grundsätzlich sind Aufgaben jedoch meist so gestellt, dass man eine Nullstelle raten kann.

geantwortet vor 5 Monate, 1 Woche
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ikeek, verified
Lehrer/Professor, Punkte: 775
 

Danke für die schnelle Antwort :)

  -   chrugi, kommentiert vor 5 Monate, 1 Woche
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