Matrizen


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Ich habe eine kleine Verständnisfrage.

Wenn ich habe: A-x*E   und A,E sind Elemente des Matrizenraumes.

Wieso ist dann gültig dass A-x dass gleiche ist wie A minus die Einheitsmatrix mit den Diagonaleinträgen x und nicht die matrix wo alle Einträge x sind?

Verstehe wie man es rechnet nur die Herleitung würde mich sehr interesieren wieso dass dies bei einer Addition/Subtraktion gilt?

Da die Einheitsmatrix ja das multiplikative Neutrale Element einer Matrix A ist.

Vielen Dank

Christian

 

gefragt vor 2 Monate, 1 Woche
c
chrugi,
Student, 38
 
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1 Antwort
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Hallo,

wenn \( x \) keine Matrix ist, so ist \( A-x \) nicht definiert, da von einer Matrix nur eine andere Matrix subtrahieren kann.

Womöglich ist dies eine Konvention die dein Profesor festgelegt hat, da \( E \) die Einheitsmatrix ist und er sich Schreibarbeit sparen möchte. 

In welchem Zusammenhang ist dies denn aufgetaucht?

Grüße Christian

geantwortet vor 2 Monate, 1 Woche
christianteam,
Sonstiger Berufsstatus, 11643
 

Im Zusammenhang mit der Eigenwerttheorie und dem char. Polynom.


Ich habe es einfach so hingenommen aber mich nun gefragt wieso dies so ist.


Gruss


Christian

  -   chrugi, kommentiert vor 2 Monate, 1 Woche

Achso du meinst das vermutlich, weil wir von der Gleichung


\( Av = xv \) 


ausgehen, mit \( A \) der Abbildung, \( v \) dem Eigenvektor und \( x \) dem Eigenwert, oder?


Jeder Endomorphismus kann durch eine Matrix dargestellt werden, ebenso die Identitäsabbildung \( id_V \). Die zugehörige Matrix zur Identitätsabbildung ist die Einheitsmatrix \( E \).


Wenn unser Endomorphismus \( f \) ( dargestellt durch die Matrix \( A \) ) einen Eigenvektor \( v \neq 0 \) zum Eigenwert \( x \) bestitzt, so gilt


\( Av = xv \\ Av - xv = 0 \\ Av - x Ev = 0 \)


Den letzten Schritt dürfen wir machen, da \( Ev = v \). Nun gilt für Matizen sowohl das rechtsseitige, als auch das linksseite Distributivgesetz, also


\( Av-x Ev = 0 \\ (A-xE)v =0 \)


Da \( v \neq 0 \), muss \( det(A-xE)=0 \) gelten wenn wir das Gleichungssystem lösen wollen und daraus erhalten wir dann das charakteristische Polynom.


Ich hoffe ich konnte die Frage klären, ansonsten melde dich nochmal


Grüße Christian


 


 

  -   christianteam, kommentiert vor 2 Monate, 1 Woche

Noch als Zusatz. Ein Endomorphismus als Matrix dargestellt, wirkt immer nach rechts. Somit gilt nicht \( A-x = A-xE \)


xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi><mo>&#x2212;</mo><mi>x</mi><mo>=</mo><mi>A</mi><mo>&#x2212;</mo><mi>x</mi><mi>E</mi></math>">Dies gilt eben nur, weil beide Matrizen \( A \) und \( E \) auf den Eigenvektor \( v \) wirken. 


 


Grüße Christian

  -   christianteam, kommentiert vor 2 Monate, 1 Woche

Hallo Christian


Danke der Knoten ist geplatzt :)


Es gilt ja, nur weil wenn man einen Skalar Mit einem Vektor multiplizieren würde ist dies ja das gleiche, wie wenn man den Skalar mit der Identitätsabbildung mal den Vektor multipliziert.


oder?


Vielen Dank 


Gruss Christian

  -   chrugi, kommentiert vor 2 Monate, 1 Woche

Ganz genau :)


Freut mich zu hören. 


Grüße Christian

  -   christianteam, kommentiert vor 2 Monate, 1 Woche
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