Gleichung umstellen


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Hey Leute, stehe grade etwas auf dem Schlauch. Übe grade für eine Klausur und habe folgende Gleichung als Hinweis gegeben, welche ich aber nicht selbst umgestellt bekomme:

 

\( \frac{1+ \sqrt{1+4c}}{2} = \frac{\sqrt{4c+2+2\sqrt{1+4c}}}{2} \)

 

Vielen Dank im Voraus!

 

 

ultor, gefragt vor 1 Woche, 1 Tag
 
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Hey, also wenn du diese Gleichung nach c umstellst, wirst du feststellen, dass jedes \(c \in \mathbb{R}, -\frac {1}{4} \le c \) Lösung ist:

Multipliziere zunächst beide Seiten mit 2. Dann hast du die Gleichung sozusagen nur mit den Zählern dastehen. 

Dann quadriere beide Seiten, um auf der rechten Seite die Wurzel zu eliminieren. Dazu musst du auf der linken Seite die erste binomische Formel anwenden. Du erhälst:

\( 1+2 \sqrt{1+4c} +(1+4c) = 4c+2+2\sqrt{1+4c}\).

Subtrahierst du von beiden Seiten \( 2 \sqrt{1+4c} \) bleibt nach Zusammenfassen:

\(2+4c=2+4c\).

Also eine wahre Aussage für beliebiges c. 

Jetzt muss man allerdings noch beachten, dass dein c ja die Ursprungsgleichung erfüllen soll und im Bereich der reellen Zahlen Wurzeln mit negativer Basis nicht definiert sind. Es darf also nie etwas Negatives unter den Wurzeln stehen. Daher kommt die Einschränkung \(  -\frac {1}{4} \le c \), denn wenn c kleiner wäre, würde in der ursprünglichen Form, die du gegeben hast, ein solcher nicht definierter Ausdruck entstehen, weil etwas Negatives unter den Wurzeln \(\sqrt{1+4c}\) stünde.

jojoliese, geantwortet vor 1 Woche, 1 Tag
 
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